Question

9．如图是一个直三棱柱（以A₁B₁C₁为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知∠A₁B₁C₁=90°，AA₁=4，BB₁=2，CC₁=3，A₁B₁=B₁C₁=1．
（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A₁B₁C₁；
（2）求二面角B-AC-A₁的正弦值．

Answer 1

分析 （1）以B₁为原点，分别以$\overrightarrow{{B_1}{C_1}}，\overrightarrow{{B_1}{A_1}}，\overrightarrow{{B_1}B}$的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，证明$\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{{A_1}{B_1}}+\overrightarrow{{B_1}{C_1}}$，然后证明OC∥平面A₁B₁C₁．
（2）结合（1）中的空间直角坐标系，求出平面ABC的一个法向量，平面ACA₁的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角B-AC-A₁的正弦值，即可．

解答 （本题满分10分）
（1）证明：如图，以B₁为原点，分别以$\overrightarrow{{B_1}{C_1}}，\overrightarrow{{B_1}{A_1}}，\overrightarrow{{B_1}B}$的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．…（1分）
依题意，${A_1}（{0，1，0}），{B_1}（{0，0，0}），{C_1}（{1，0，0}），O（{0，\frac{1}{2}，3}），C（{1，0，3}）$，
因为$\overrightarrow{OC}=（{1，-\frac{1}{2}，0}），\overrightarrow{{A_1}{B_1}}=（{0，-1，0}），\overrightarrow{{B_1}{C_1}}=（{1，0，0}）$，…（3分）
所以$\frac{1}{2}\overrightarrow{{A_1}{B_1}}+\overrightarrow{{B_1}{C_1}}=（{0，-\frac{1}{2}，0}）+（{1，0，0}）=（{1，-\frac{1}{2}，0}）$，
所以$\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{{A_1}{B_1}}+\overrightarrow{{B_1}{C_1}}$，
又OC?平面A₁B₁C₁，所以OC∥平面A₁B₁C₁．…（4分）
（2）解：依题意，结合（1）中的空间直角坐标系，得A（0，1，4），B（0，0，2），C（1，0，3），A₁（0，1，0），
则$\overrightarrow{AB}=（{0，-1，-2}），\overrightarrow{BC}=（{1，0，1}），\overrightarrow{AC}=（{1，-1，-1}），\overrightarrow{{A_1}A}=（{0，0，4}）$，…（5分）
设$\overrightarrow{n_1}=（{{x_1}，{y_1}，{z_1}}）$为平面ABC的一个法向量，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{AB}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{BC}=0\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}-{y_1}-2{z_2}=0\\{x_1}+{z_1}=0\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{y_1}=-2z\\{x_1}=-z\end{array}\right.$
不妨设z₁=1，则x₁=-1，y₁=-2，
所以$\overrightarrow{n_1}=（{-1，-2，1}）$．…（7分）
设$\overrightarrow{n_2}=（{{x_2}，{y_2}，{z_2}}）$为平面ACA₁的一个法向量，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{AC}=0\\ \overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{{A_1}A}=0\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x_2}-{y_2}-{z_2}=0\\{z_2}=0\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x_2}={y_2}\\{z_2}=0\end{array}\right.$
不妨设y₂=1，则x₂=1，
所以$\overrightarrow{n_2}=（{1，1，0}）$．…（9分）
因为，$cos＜\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}|•|{\overrightarrow{n_2}}|}}=\frac{-1-2+0}{{\sqrt{6}•\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
于是$sin＜\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}＞=\frac{1}{2}$，
所以，二面角B-AC-A₁的正弦值为$\frac{1}{2}$．…（10分）

点评 本题考查空间向量的应用，二面角的平面角的求法，直线与平面平行的判断方法，考查空间想象能力以及计算能力．