Question

【题目】二次函数f（x），又 的图象与x轴有且仅有一个公共点，且f′（x）=1﹣2x．
（1）求f（x）的表达式．
（2）若直线y=kx把y=f（x）的图象与x轴所围成的图形的面积二等分，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设f（x）=ax2+bx+c，则f′（x）=2ax+b，

∵f′（x）=1﹣2x，∴a=﹣1，b=1，

∴ = 的图象与x轴有且仅有一个公共点，

∴△=1+4（c﹣ ）=0，解得c=0，

则f（x）=x﹣x2

（2）解：由（1）得f（x）=x﹣x2图象与x轴交点是（0，0）、（1，0），

如图：直线y=kx和y=f（x）的图象的交点为A，

由 得，x=1﹣k，

∵直线y=kx把y=f（x）的图象与x轴所围成的图形的面积二等分，

∴ dx= ，

即 ×（ ）= ，

，解得 ，

故k的值是 ．

【解析】（1）由题意设f（x）=ax2+bx+c，求出f′（x）后结合题意求出a、b，再代入 化简，由题意和二次函数的性质令△=0求出c的值，代入解析式求出f（x）；（2）先求出f（x）=x﹣x2图象与x轴交点坐标，再画出图象，并求出y=kx和y=f（x）的图象的交点的横坐标，结合题意和定积分知识列出方程，求出k的值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的性质(当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减)．