Question

已知动圆P过定点F（0，1），且与定直线y=-1相切．
（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹W的方程；
（Ⅱ）设过点F的直线l与轨迹W相交于A，B两点，若在直线y=-1上存在点C，使△ABC为正三角形，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设动圆圆心P（x，y），根据题意：点P（x，y）到点F（0，1）距离等于点P到定直线y=-1的距离，由此能求了动圆圆心P的轨迹W的方程．
（Ⅱ）设过点F的直线l的方程为y-1=kx，即y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．如果k=0，推导出|AB|+4，而|AC|=

(0-2)2+(-1-1)2

=2

2

，不符题意；如果k≠0，弦AB中点M（x₀，y₀）．则

y=kx+1 x2=4y

，得：x²-4kx-4=0，由此能求出直线l的方程．

解答：解：（Ⅰ）设动圆圆心P（x，y），
根据题意：点P（x，y）到点F（0，1）距离等于点P到定直线y=-1的距离，
即

x2+(y-1)2

=|y+1|，（3分）
 故：动圆圆心P的轨迹W的方程为x²=4y．（5分）
（Ⅱ）显然，直线的斜率k存在，
设过点F的直线l的方程为y-1=kx，即y=kx+1，（6分）
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
①如果k=0，

y=1 x2=4y

，得A（-2，1），B（2，1），
故有|AB|+4，而|AC|=

(0-2)2+(-1-1)2

=2

2

，不符题意，所以k≠0．（7分）
②如果k≠0，弦AB中点M（x₀，y₀）．则

y=kx+1 x2=4y

，得：x²-4kx-4=0，
所以有：x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，（9分）
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=4k²+2，
x₀=

x1+x2

2

=2k，y₀=

y1+y2

2

=2k²+1，（11分），
即M（2k，2k²+1），
若在直线y=-1上存在点C，使△ABC为正三角形，
则设直线MC：y-（2k²+1）=-

1

k

（x-2k）与y=-1联立，
解得x=4k+2k³，也就是C（4k+2k³，-1），
由

|CM|

|AB|

=

3

2

，得

(2k+2k3)2+(2k2+2)2

y1+y2+2

=

3

2

，（14分）
即k=±

2

，所以，直线l的方程为y=±

2

x+1．（15分）

点评：本题考查圆心的轨迹方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．