Question

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的长轴长为6，点A为左顶点，B，C在椭圆E上，若四边形OABC位平行四边形，且∠OAB=30°．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过点M（1，0）作倾斜角为135°的直线l，交椭圆于P，Q两点，设点F是椭圆的左焦点，求△FPQ的面积．

Answer 1

分析 （I）由四边形OABC位平行四边形，可得BC∥OA，由椭圆的对称性可知：B，C两点关于y轴对称．a=|OA|=|BC|=3，可设B$（-\frac{3}{2}，{y}_{0}）$（y₀＞0）．代入椭圆的方程可得y₀=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b．由于∠OAB=30°，可得$\frac{\sqrt{3}}{2}b$=$\frac{3}{2}tan3{0}^{°}$，解得b即可得出．
（II）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线l的方程为y=1-x，与椭圆方程联立化为5x²-9x=0，解得M，N坐标，利用S_△FMN=$\frac{1}{2}$|FM|•|y₁-y₂|即可得出．

解答 解：（I）∵四边形OABC位平行四边形，∴BC∥OA，
由椭圆的对称性可知：B，C两点关于y轴对称，
∵a=|OA|=|BC|=3，可设B$（-\frac{3}{2}，{y}_{0}）$（y₀＞0）．
代入椭圆的方程可得：$\frac{9}{4×{3}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}=1$，解得y₀=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b．
∵∠OAB=30°，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}b$=$\frac{3}{2}tan3{0}^{°}$，解得b=1．
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}$=1．
（II）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线l的方程为y=-（x-1）=1-x，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=1-x}\\{{x}^{2}+9{y}^{2}=9}\end{array}\right.$，化为5x²-9x=0，解得x₁=0，x₂=$\frac{9}{5}$．
代入直线l的方程可得：y₁=1，y₂=$-\frac{4}{5}$．
∴|y₁-y₂|=$\frac{9}{5}$，|FM|=$2\sqrt{2}$+1．
∴S_△FMN=$\frac{1}{2}$|FM|•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}×（2\sqrt{2}+1）×$$\frac{9}{5}$=$\frac{18\sqrt{2}+9}{10}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、平行四边形的性质、直线与椭圆相交问题、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．