【题目】在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,点的极坐标为.
(1)求的直角坐标方程和的直角坐标;
(2)设与交于,两点,线段的中点为,求.
【答案】(1),(2)
【解析】
(1)利用互化公式把曲线C化成直角坐标方程,把点P的极坐标化成直角坐标;
(2)把直线l的参数方程的标准形式代入曲线C的直角坐标方程,根据韦达定理以及参数t的几何意义可得.
(1)由ρ2得ρ2+ρ2sin2θ=2,将ρ2=x2+y2,y=ρsinθ代入上式并整理得曲线C的直角坐标方程为y2=1,
设点P的直角坐标为(x,y),因为P的极坐标为(,),
所以x=ρcosθcos1,y=ρsinθsin1,
所以点P的直角坐标为(1,1).
(2)将代入y2=1,并整理得41t2+110t+25=0,
因为△=1102﹣4×41×25=8000>0,故可设方程的两根为t1,t2,
则t1,t2为A,B对应的参数,且t1+t2,
依题意,点M对应的参数为,
所以|PM|=||.
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【题目】已知椭圆的中心在原点,左焦点、右焦点都在轴上,点是椭圆上的动点,的面积的最大值为,在轴上方使成立的点只有一个.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点的两直线,分别与椭圆交于点,和点,,且,比较与的大小.
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【题目】已知函数f(x)=2ax-x2-3ln x,其中a∈R,为常数.
(1)若f(x)在x∈[1,+∞)上是减函数,求实数a的取值范围;
(2)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)在x∈[1,a]上的最大值.
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【题目】已知椭圆:过点与点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线过定点,且斜率为,若椭圆上存在,两点关于直线对称,为坐标原点,求的取值范围及面积的最大值.
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【题目】已知函数,给出下列命题,其中正确命题的个数为
①当时,上单调递增;
②当时,存在不相等的两个实数,使;
③当时,有3个零点.
A. 3B. 2C. 1D. 0
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【题目】如图,设椭圆1的左右焦点分别为F1、F2,过焦点F1的直线交椭圆于A、B两点,若△ABF2的内切圆的面积为4,设A、B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则|y1﹣y2|值为_____.
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【题目】己知p:函数f(x)在R上是增函数,f(m2)<f(m+2)成立;q:方程1(m∈R)表示双曲线.
(1)若p为真命题,求m的取值范围;
(2)若p∨q为真,p∧q为假,求m的取值范围.
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