Question

已知单调递增的等比数列{a_n}满足a₂+a₃+a₄=28，a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=-na_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）设等比数列{a_n}的首项为a₁，且公比为q＞1，由等比中项列出式子求出a₃的值，代入已知的式子化简，再由通项公式列出关于首项和公比的方程，求出a₁和q，代入通项公式即可；
（2）由（1）和题求出b_n，再根据特点利用错位相减法求出前n项和S_n．

解答：解：（1）设等比数列{a_n}的首项为a₁，且公比为q＞1．
∵a₃+2是a₂，a₄的等差中项，
∴2（a₃+2）=a₂+a₄，代入a₂+a₃+a₄=28，得a₃=8，
∴a₂+a₄，=20，则

a1q2=8 a1q+a1q3=20

，
解得

a1=2 q=2

或

a1=32 q= 1 2

（舍去），
∴an=2n，
（2）由（1）得，b_n=-na_n=-n•2ⁿ，
∴Sn=-(1×2+2×22+3×23+…+n×2n)，
即-Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n   ①
-2Sn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1  ②
①-②得，Sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1
=

2(1-2n)

1-2

-n×2n+1=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2．

点评：本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，以及错位相减法求数列的前n项和，考查了计算能力．