Question

设f（x）＝，F（x）＝＋f（x）．

　　（1）试判断函数F（x）的单调性并证明你的结论；

　　（2）设f（x）的反函数为（x），求（x）的表达式；

　　（3）证明对任意自然数n（n≥3）都有（n）＞．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）由且  ∴  F（x）定义域为（－1，1） 　　   ∵     　   　∴     ∵  －1＜x＜1  ∴     　　  ∴    在（－1，1）上为增函数 （2）由  得，     ∴  　　 ∵  f（x）的值域为R  ∴  的定义域为R  故R） （3）当n≥3时 　　即证明成立，即证明成立  即证明 法1：下面用数学归纳法证明当n≥3时成立 　　由当n＝3时，左边  右边  左边＞右边  ∴  原不等式成立 　　由设当n＝k时，不等式成立，即 　　当n＝k＋1时， 　　∴  当n＝k＋1时不等式成立  由、可知当n为大于或等于3的任意自然数时不等式成立 法2：*可用二项式定理证明 　　 ＋＋＋…＋＋＋＞＋＋＋ ＝1＋n＋n＋1＝2n＋2＞2n＋1