解(1)
;
∵是奇函数;
∴
即
又可知和不能同时为0
故b=0
a+b+1=3c+3d,
∴
∴
当x>0时,f(x)有最大值
∴
得
∴
(2)∵g(x)=2x
2+1
∴a
n+12=2a
n2+1?a
n+12+1=2(a
n2+1)
∴{a
n2+1}为等比数列,其首项为a
12+1=2,公比为2
∴a
n2+1=(a
12+1)•2
n-1=2
n∴
(3)由题
∴
假设存在正实数m,对任意n∈N
*,使b
n•b
n+1>0恒成立.
∵b
1=m>0
∴b
n>0恒成立.
∴
∴
又
∴
取n>1+b
12,即n>m
2+1时,有b
n<0与b
n>0矛盾.
因此,不存在正实数m,使b
n•b
n+1>0对n∈N
*恒成立.
分析:(1)根据f(1)=3,以及f(x)为奇函数可求出b的值,然后根据当x>0时,f(x)有最小值
,可求出c的值,从而求出函数的解析式;
(2)根据a
n+12=g(a
n)可证得{a
n2+1}为等比数列,其首项为a
12+1=2,公比为2,从而求出数列{a
n}的通项公式;
(3)假设存在正实数m,对任意n∈N
*,使b
n•b
n+1>0恒成立,然后根据放缩法可得
,取n>1+b
12,即n>m
2+1时,有b
n<0与b
n>0矛盾,从而得到结论.
点评:本题主要考查了函数的解析式,以及函数的奇偶性和恒成立问题,同时考查了数列的综合运用,属于中档题.