已知数列{an}的首项a1=5,前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*)
(I)证明数列{an+1}是等比数列;
(II)令f(x)=a1x+a2x2+…+anxn,求函数f(x)在点x=1处的导数f'(1)并比较2f'(1)与23n2-13n的大小.
分析:(I)根据an+1=Sn+1-Sn,得到n≥2时an+1和an关系式即an+1=2an+1,两边同加1得到an+1+1=2(an+1),最后验证n=1时等式也成立,进而证明数列{an+1}是等比数列.
(II)通过(I){an+1}的首项为5公比为2求得数列an+1的通项公式,进而求得an的通项公式,代入f(x)进而求出f'(x),再求得f‘(1),进而求得2f‘(1).要比较2f'(1)与23n2-13n的大小,只需看2f′(1)-(23n2-13n)于0的关系.
解答:解:(I)由已知S
n+1=2S
n+n+5(n∈N
*),
可得n≥2,S
n=2S
n-1+n+4两式相减得S
n+1-S
n=2(S
n-S
n-1)+1即a
n+1=2a
n+1
从而a
n+1+1=2(a
n+1)
当n=1时S
2=2S
1+1+5所以a
2+a
1=2a
1+6又a
1=5所以a
2=11
从而a
2+1=2(a
1+1)
故总有a
n+1+1=2(a
n+1),n∈N
*又a
1=5,a
1+1≠0
从而
=2即数列{a
n+1}是等比数列;
(II)由(I)知a
n=3×2
n-1
因为f(x)=a
1x+a
2x
2++a
nx
n所以f′(x)=a
1+2a
2x++na
nx
n-1从而f′(1)=a
1+2a
2++na
n=(3×2-1)+2(3×2
2-1)++n(3×2
n-1)
=3(2+2×2
2++n×2
n)-(1+2++n)=3(n-1)•2
n+1-
+6.
由上2f′(1)-(23n
2-13n)=12(n-1)•2
n-12(2n
2-n-1)
=12(n-1)•2
n-12(n-1)(2n+1)
=12(n-1)[2
n-(2n+1)]①
当n=1时,①式=0所以2f'(1)=23n
2-13n;
当n=2时,①式=-12<0所以2f'(1)<23n
2-13n
当n≥3时,n-1>0又2
n=(1+1)
n=C
n0+C
n1++C
nn-1+C
nn≥2n+2>2n+1
所以(n-1)[2
n-(2n+1)]>0即①>0从而2f′(1)>23n
2-13n.
点评:本题主要考查了数列中等比关系的确定.往往可以通过
=q,q为常数的形式来确定.