Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

6

3

，长轴长为2

3

．
（1）求椭圆的方程；
（2）试直线y=kx+1交椭圆于不同的两点A、B，以AB为直径的圆恰过原点O，求直线方程．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆的几何性质，求出几何量，即可得到椭圆的方程；
（2）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理结合以AB为直径的圆恰过原点O，求得切线向量，即可求得直线方程．

解答：解：（1）设椭圆的半焦距为c，
∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

6

3

，长轴长为2

3

∴a=

3

，

c

a

=

6

3

∴c=

2

∵a²=b²+c²
∴b=1 （2分）
∴所求椭圆方程为

x2

3

+y2=1  （4分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x2 3 +y2=1 y=kx+1

消去y并整理得（1+3k²）x²+6kx=0
则△=（6k）²-4（1+3k²）×0＞0，
解得k≠0   （5分）
故x1+x2=

-6k

1+3k2

，x₁x₂=0     （8分）
∵以AB为直径的圆恰过原点O
∴

AO

•

OB

=0
∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=

1-3k2

1+3k2

=0（10分）．  
∴k=±

3

3

  
∴直线方程为y=±

3

3

x+1（12分）

点评：本题重点考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是借助于韦达定理，将以AB为直径的圆恰过原点O，转化为

AO

•

OB

=0．