Question

在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，侧棱是底面边长的2倍，P是侧棱CC₁上的任一点.

（1）求证：不论P在侧棱CC₁上何位置，总有BD⊥AP；

（2）若CC₁＝3C₁P，求平面AB₁P与平面ABCD所成二面角的余弦值；

（3）当P点在侧棱CC₁上何处时，AP在平面B₁AC上的射影是∠B₁AC的平分线?

Answer 1

解法一：（1）证明:由题意可知，不论P点在棱CC₁上的任何位置，AP在底面ABCD内射影都是AC，∵BD⊥AC，

∴BD⊥AP.                                                              

（2）延长B₁P和BC，设B₁P∩BC=M，连结AM，则AM=平面AB₁P∩平面ABCD,过B作BQ⊥AM于Q，连结B₁Q，由于BQ是B₁Q在底面ABCD内的射影，所以B₁Q⊥AM，故∠B₁QB就是所求二面角的平面角.                                          

依题意，知CM=2B₁C₁，从而BM=3BC.

∴AM=BC.在Rt△ABM中，

BQ=.在Rt△B₁BQ中，tan∠B₁QB=.

∴tan∠B₁QB.∴1+tan²∠B₁QB=.∴1+.∴cos∠B₁QB=为所求.                                                          

（3）设CP=a，BC=m，则BB₁=2m，C₁P=2m-a，从而B₁P²=m²+（2m-3）²，AB₁²=m²+4m²=5m²，AC=m.在Rt△ACP中，cos∠APC=.在△PAB₁中，cos∠PAB₁=.依题意，得∠PAC=∠PAB₁.

∴.                                             

∴AP²+AB₁²-B₁P²=2AC·AB₁,

即a²+2m²+5m²-[m²+（2m-a）²]=2m· m.

∴a= m=BB₁.故P距C点的距离是侧棱的.            

解法二：（1）证明:如图，建立空间直角坐标系.设CP=a，CC₁=6，∴B₁（0，3，6），B（0，3，0），C（-3，3，0），D（-3，0，0），P（-3，3，a）.=（-3，3，a），=（0，3，6），=（-3，-3，0），∵·=0，∴⊥.∴BD⊥AP.

（2）设n⊥平面AB₁P，n=（x，y，z），∵CC₁=3C₁P，∴P（-3，3，4）.

∵n·=0，n·=0，

∴解得

∴n=（-，-2，1）z.

又AA₁⊥平面ABCD，=（0，0，6），

∴n·=6z，

|n|=z,

||=6.

∴cos〈n，〉==±.

∵所求的二面角为锐角，

故平面AB₁P与平面ABCD所成二面角的余弦值为.                          

（3）∵cos〈，〉=，

∴cos〈，〉=.依题意，得cos〈，〉=cos〈，〉，

即3+2a=3，亦即a=×6=CC₁．

故P距C点的距离是侧棱的.