Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， a1=1，且（n+1）an=2Sn（n∈N*），数列{bn}满足 ， ，对任意n∈N* ， 都有 ．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）令Tn=a1b1+a2b2+…+anbn ． 若对任意的n∈N* ， 不等式λnTn+2bnSn＜2（λn+3bn）恒成立，试求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵（n+1）an=2Sn，∴ ，n∈N*

当n≥2时， ，

∴nan﹣1=（n﹣1）an，即 （ n≥2）．

∴ （n≥2），

又a1=1，也满足上式，

故数列{an}的通项公式an=n（n∈N*）．．

由 ， ， ，

可知：数列{bn}是等比数列，其首项、公比均为 ，

∴数列{bn}的通项公式：bn=

（2）解：∵anbn=n ．

∴Tn= +3× +…+n ．

= +…+（n﹣1） +n ，

∴ Tn= +…+ ﹣n = ﹣n ，

∴ ．

又Sn=1+2+…+n= ．

不等式λnTn+2bnSn＜2（λn+3bn）恒成立，

即λn + ＜2 ，

即（1﹣λ）n2+（1﹣2λ）n﹣6＜0，（n∈N*）恒成立．

设f（n）=（1﹣λ）n2+（1﹣2λ）n﹣6，（n∈N*）．

当λ=1时，f（n）=﹣n﹣6＜0恒成立，则λ=1满足条件；

当λ＜1时，由二次函数性质知不恒成立；

当λ＞1时，由于对称轴x= ＜0，则f（n）在[1，+∞）上单调递减，

∴f（n）≤f（1）=﹣3λ﹣4＜0恒成立，则λ＞1满足条件，

综上所述，实数λ的取值范围是[1，+∞）

【解析】（1）由（n+1）an=2Sn ， 可得 ，n∈N* ， 利用递推关系可得： （ n≥2）．利用“累乘求积”方法即可得出an ． 利用等比数列的通项公式即可得出bn ． （2）由anbn=n ，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出Tn ． 代入不等式λnTn+2bnSn＜2（λn+3bn），化简整理利用二次函数的单调性即可得出．
【考点精析】认真审题，首先需要了解数列的通项公式(如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式)．