Question

4．已知椭圆${C_1}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦点分别为F₁，F₂，且与直线x+y-1=0相交于A，B两点．
（1）若椭圆C₁的两焦点分别为双曲线${C_2}：{x^2}-\frac{y^2}{2}=1$的顶点，且以椭圆上任一点P和左右焦点F₁，F₂为顶点的△PF₁F₂的周长为$2\sqrt{3}+2$，求椭圆C₁的标准方程；
（2）在（1）的条件下，求弦AB的长；
（3）当椭圆的离心率e满足$\frac{{\sqrt{3}}}{3}≤e≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且以AB为直径的圆经过坐标原点O，求椭圆长轴长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出双曲线的顶点，得到椭圆的c，利用以椭圆上任一点P和左右焦点F₁，F₂为顶点的△PF₁F₂的周长为$2\sqrt{3}+2$，求出a，然后求解椭圆方程．
（2）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立方程组$\left\{{\begin{array}{l}{x+y-1=0}\\{\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1}\end{array}}\right.$消去y，利用韦达定理以及弦长公式求解即可．
（3）利用$\left\{{\begin{array}{l}{x+y-1=0}\\{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}\end{array}}\right.$消去y，整理得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0，设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），通过△＞0，韦达定理，利用$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，推出$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=2$，结合离心率的范围，求解即可．

解答 解：（1）由题意椭圆C₁的两焦点分别为双曲线${C_2}：{x^2}-\frac{y^2}{2}=1$的顶点，可知：c=1…（1分）
$2a+2c=2\sqrt{3}+2$…（2分）
∴$a=\sqrt{3}$
∴$b=\sqrt{{a^2}-{c^2}}=\sqrt{2}$
∴椭圆C₁的方程为：$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$…（3分）
（2）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由方程组$\left\{{\begin{array}{l}{x+y-1=0}\\{\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1}\end{array}}\right.$消去y，整理得5x²-6x-3=0…（4分）
求解可得${x_1}+{x_2}=\frac{6}{5}$，${x_1}•{x_2}=-\frac{3}{5}$…（5分）
$|{AB}|=\sqrt{2×[{{{（{\frac{6}{5}}）}^2}+4×\frac{3}{5}}]}=\frac{{8\sqrt{3}}}{5}$…（6分）
（3）由方程组$\left\{{\begin{array}{l}{x+y-1=0}\\{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}\end{array}}\right.$
消去y，整理得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），△=（-2a²）²-4（a²+b²）•a²（1-b²）＞0，
${x_1}+{x_2}=\frac{{2{a^2}}}{{{a^2}+{b^2}}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{{a^2}（1-{b^2}）}}{{{a^2}+{b^2}}}$…（7分）
∵以AB为直径的圆经过坐标原点O，∴$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$
∴x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0
∴$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=2$①…（8分）
又∵$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}∈$$[\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$，
∴$\frac{1}{2}≤\frac{b^2}{a^2}≤\frac{2}{3}$
由①可知${b^2}=\frac{a^2}{{2{a^2}-1}}$…（10分）
∴$\frac{1}{2}≤\frac{1}{{2{a^2}-1}}≤\frac{2}{3}$
∴$\frac{{\sqrt{5}}}{2}≤a≤\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
∴$\sqrt{5}≤2a≤\sqrt{6}$…（12分）

点评 本题考查椭圆的方程的求法，双曲线与椭圆的综合应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．