Question

3．定义函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x≥0}\\{-1，x＜0}\end{array}\right.$，f（x）=x²-2x（x-a）•g（x-a）．
（1）若f（2）=0，求实数a的值；
（2）解关于实数a的不等式f（1）≤f（0）；
（3）函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用分段函数，分类讨论，求出实数a的值；
（2）f（1）=1-2（1-a）g（1-a），f（0）=0，分类讨论，解关于实数a的不等式f（1）≤f（0）；
（3）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+2ax，x≥a\\ 3{x^2}-2ax，x＜a\end{array}\right.$，利用函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，求实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-2x（x-a）•g（x-a），∴f（2）=4-4（2-a）g（2-a），
当a≤2时，f（2）=4-4（2-a）=0，∴a=1，…（2分）
当a＞2时，f（2）=4+4（2-a）=0，∴a=3．…（4分）
（2）∵f（x）=x²-2x（x-a）•g（x-a），
∴f（1）=1-2（1-a）g（1-a），f（0）=0，
当a≤1时，∴f（1）=2a-1≤0，∴$a≤\frac{1}{2}$，…（6分）
当a＞1时，∴f（1）=-2a+3≤0，∴$a≥\frac{3}{2}$，…（8分）
∴$a≤\frac{1}{2}$或$a≥\frac{3}{2}$．…（9分）
（3）∵f（x）=x²-2x（x-a）•g（x-a），
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+2ax，x≥a\\ 3{x^2}-2ax，x＜a\end{array}\right.$，
当a＞0时，$\left\{\begin{array}{l}\frac{a}{3}≤1\\ a≥2\end{array}\right.$，∴2≤a≤3，…（11分）
当a=0时，不合题意，…（13分）
当a＜0时，f（x）在[1，2]上单调递减，不合题意，…（15分）
∴2≤a≤3．…（16分）

点评 本题考查分段函数，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．