Question

已知函数f(x)=

1

3

a2x3-ax2+

2

3

，g(x)=-ax+1．
（1）曲线在x=1处的切线与直线3x-y=1平行，求a的值．
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：先由f（x）的解析式，求出f（x）的导函数，
（1）根据两直线平行时斜率相等，由直线3x-y=1的斜率得到切线的斜率，即把x=1代入导函数求出的导函数值等于求出的斜率，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；
（2）把f（x）的导函数变形后，求出导函数值为0时x的值，分a大于0，a小于0和a=0三种情况，由x的值分别讨论导函数得值大于0，求出x的范围即为函数的单调增区间；当导函数的值小于0求出x的范围即为函数的递减区间．

解答：解：由函数f（x），求导得：f′（x）=a²x²-2ax，
（1）∵切线与直线3x-y=1平行，直线3x-y=1的斜率为3，
∴f′（1）=3，即a²-2a-3=0，分解因式得：（a-3）（a+1）=0，
解得：a=3或a=-1；
（2）f′（x）=a²x²-2ax=a²x（x-

2

a

）
①当a＞0时，x∈（-∞，0），得到f′（x）＞0；0＜x＜

2

a

，f′（x）＜0；x＞

2

a

，f′（x）＞0；
②a＜0时，x∈（-∞，

2

a

），f′（x）＞0，

2

a

＜x＜0，f′（x）＜0，x＞0，f′（x）＞0；
③a=0，f（x）无单调性，
综上，当a=0时，f（x）无单调性；
当a＞0时，f（x）在（-∞，0）单调增，在（0，

2

a

）单调减，在（

2

a

，+∞）单调增；
当a＜0时，f（x）在（-∞，-

2

a

）单调增，在（-

2

a

，0）单调减，在（0，+∞）单调增．

点评：此题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，以及利用导数研究函数的单调性．要求学生掌握导函数在切点横坐标对应的函数值为切线方程的斜率．导函数值大于0函数单调递增，导函数值小于0函数单调递减，利用这个性质可求出函数的单调区间．