Question

已知关于x的二次函数f（x）=ax²-4bx+1．
（1）设集合P={-1，2，3}和Q={-2，1，2}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；
（2）设点（a，b）是区域

x+y-6≤0 x＞0 y＞0

内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．

Answer 1

分析：（1）若y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则由二次函数的性质可得a＞0且

2b

a

≤1成立，即a＞0且2b≤a．因为从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，总共有9个基本事件，而符合条件的基本事件有4个，所以根据随机事件的概率公式，可得所求事件的概率为

4

9

；
（2）作出题中不等式组表示的平面区域，以及区域内符合a＞0且2b≤a的部分，得到如图所示的△OAB、△OAC及其内部．再根据几何概型公式，用△OAC的面积除以△OAB的面积即可得到所求的概率．

解答：解：（1）分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，有（-1，-2）、（-1，1）、（-1，2）、
（2，-2）、（2，1）、（2，2）、（3，-2）、（3，1）和（3，2）共9个基本事件．
∵二次函数f（x）=ax²-4bx+1的图象的对称轴为x=

2b

a

，要使函数f（x）=ax²-4bx+1在区间
[1，+∞）上为增函数，当且仅当a＞0且

2b

a

≤1成立，即a＞0且2b≤a．
若a=2，则b=-2或1；若a=3，则b=-2或1．
由此可得满足条件的基本事件包含基本事件的个数是2+2=4．
∴函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率为P=

4

9

；
（2）由（1）知当且仅当a＞0且2b≤a时，函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．
根据题意全部结果所构成的区域为满足不等式

x+y-6≤0 x＞0 y＞0

的实数对（a，b）构成的集合，相应的区域为如右图的△OAB及其内部．
其中符合“函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数”的实数对（a，b），满足不等式

a+b-6＜0 a＞0且b＞0 2b≤a

，相应的区域为如右图的△OAC及其内部．
∵A（6，0），B（0，6），C（4，2），
∴S_△OAB=

1

2

×6×6=18，S_△OAC=

1

2

×6×2=6
∴所求事件的概率为P=

S△OAC

S△OAB

=

6

18

=

1

3

．

点评：本题给出含有字母参数的二次函数，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．着重考查了二次函数的性质、二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型计算公式等知识，属于中档题．