Question

6．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a=1，2cosC+c=2b，则△ABC的周长的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{1}{2}，2$]
• B． （1，3]
• C． （2，3]
• D． [3，5]

Answer 1

分析 由余弦定理求得 cosC，代入已知等式可得（b+c）²-1=3bc，利用基本不等式求得b+c≤2，故a+b+c≤3．再由三角形任意两边之和大于第三边求得a+b+c＞2，由此求得△ABC的周长的取值范围．

解答 解：△ABC中，由余弦定理可得2cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{ab}$，
∵a=1，2cosC+c=2b，
∴$\frac{1+{b}^{2}-{c}^{2}}{b}$+c=2b，化简可得（b+c）²-1=3bc．
∵bc≤$（\frac{b+c}{2}）^{2}$，
∴（b+c）²-1≤3×$（\frac{b+c}{2}）^{2}$，解得b+c≤2（当且仅当b=c时，取等号）．
故a+b+c≤3．
再由任意两边之和大于第三边可得 b+c＞a=1，故有 a+b+c＞2，
故△ABC的周长的取值范围是（2，3]，
故选：C．

点评 本题主要考查余弦定理、基本不等式的应用，三角形任意两边之和大于第三边，属于中档题．