精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
6.已知△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,若a=1,2cosC+c=2b,则△ABC的周长的取值范围是(  )
A.($\frac{1}{2},2$]B.(1,3]C.(2,3]D.[3,5]

分析 由余弦定理求得 cosC,代入已知等式可得(b+c)2-1=3bc,利用基本不等式求得b+c≤2,故a+b+c≤3.再由三角形任意两边之和大于第三边求得a+b+c>2,由此求得△ABC的周长的取值范围.

解答 解:△ABC中,由余弦定理可得2cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{ab}$,
∵a=1,2cosC+c=2b,
∴$\frac{1+{b}^{2}-{c}^{2}}{b}$+c=2b,化简可得(b+c)2-1=3bc.
∵bc≤$(\frac{b+c}{2})^{2}$,
∴(b+c)2-1≤3×$(\frac{b+c}{2})^{2}$,解得b+c≤2(当且仅当b=c时,取等号).
故a+b+c≤3.
再由任意两边之和大于第三边可得 b+c>a=1,故有 a+b+c>2,
故△ABC的周长的取值范围是(2,3],
故选:C.

点评 本题主要考查余弦定理、基本不等式的应用,三角形任意两边之和大于第三边,属于中档题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

16.已知函数$f(x)={x}^{2}+2xsinθ-1,x∈[-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}]$.
(1)若$θ=\frac{π}{6}$,若f(x)<m恒成立,求实数m的范围;
(2)若f(x)在x∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\frac{1}{2}$]上是单调函数,且θ∈[0,2π),求θ的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

17.已知函数y=$\frac{1}{x}$的导数为y′,y′=(  )
A.-$\frac{1}{x}$B.$\frac{1}{x}$C.-$\frac{1}{{x}^{2}}$D.-1

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

14.圆O1:x2+y2+6x-4y+10=0与圆O2:x2+y2=4的位置关系是(  )
A.相离B.相交C.外切D.内切

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

1.某校高二年级有4个文科班和5个理科班,现要从中任意挑选3个班参加学校校庆表演,若选出的班级中至少有一个文科班和一个理科班,则不同的选法种数是(  )
A.70B.84C.140D.420

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

11.设{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且a1=b1,a2015=b2015,则(  )
A.a1008>b1008B.a1008≥b1008
C.a1008<b1008D.以上答案均有可能

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

18.已知$\overrightarrow{a}$=(1,0),$\overrightarrow{b}$=(2,1).
(Ⅰ)求|$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$|;
(Ⅱ)当k为何实数时,$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$平行.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

15.为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图),图中从左到右各小长方形面积之比为2:4:17:15:9:3,第二小组频数为12.
(1)第二小组的频率是多少?样本容量是多少?
(2)规定次数在110以上(含110次)为达标,该校高一共有1050名学生,试估计该学校全体高一学生达标的人数有多少?

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

16.已知向量$\vec a=(2sinθ,cosθ),\vec b=(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$
(Ⅰ)若$\vec a$∥$\vec b$,求tanθ的值;  
(Ⅱ)若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|,$θ∈(0,\frac{π}{2})$,求θ的值.

查看答案和解析>>

同步练习册答案