Question

如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱VA⊥底面ABCD，E、F、G分别为VA、VB、BC的中点．
（I）求证：平面EFG∥平面VCD；
（II）当二面角V-BC-A、V-DC-A分别为45°、30°时，求直线VB与平面EFG所成的角．

Answer 1

解：（I）∵E、F、G分别为VA、VB、BC的中点，∴EF∥AB，FG∥VC，
又ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴EF∥CD，
又∵EF?平面VCD，FG?平面VCD
∴EF∥平面VCD，FG∥平面VCD，
又EF∩FG=F，∴平面EFG∥平面VCD． …（4分）

（II）方法一：
∵VA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥VD．
则∠VDA为二面角V-DC-A的平面角，∠VDA=30°．
同理∠VBA=45°． …（7分）
作AH⊥VD，垂足为H，由上可知CD⊥平面VAD，则AH⊥平面VCD．
∵AB∥平面VCD，∴AH即为B到平面VCD的距离．
由（I）知，平面EFG∥平面VCD，则直线VB与平面EFG所成的角等于直线VB与平面VCD所成的角，记这个角为θ．
∵AH=VA•sin60°=VA
VB=VA
∴sinθ==…（11分）
故直线VB与平面EFG所成的角arcsin …（12分）
方法二：
∵VA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥VD．
则∠VDA为二面角V-DC-A的平面角，∠VDA=30°．
同理∠VBA=45°． …（7分）
建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设VA=VB=1，BC=，
则V（0，0，1），B（0，1，0），D（，0，0），C（，1，0）
设平面EFG的法向量为=（x，y，z），
则n亦为平面VCD的法向量．
∵=（0，1，0），=（，1，-1），
∴
则向量=（1，0，）为平面EFG的一个法向量
设直线VB与平面EFG所成的角为θ，
∵=（0，1，-1）则sinθ=|cos＜，＞== …（11分）
故直线VB与平面EFG所成的角arcsin …（12分）
分析：（I）由已知中E、F、G分别为VA、VB、BC的中点，根据三角形中位线定理可得，EF∥CD，FG∥VC，由面面平行的判定定理可得平面EFG∥平面VCD；
（II）方法一：由已知中二面角V-BC-A、V-DC-A分别为45°、30°，我们可得，∠VDA=30°，∠VBA=45°，作AH⊥VD，垂足为H，则AH⊥平面VCD，即AH即为B到平面VCD的距离，则直线VB与平面EFG所成的角等于直线VB与平面VCD所成的角，解三角形VAH，即可求出直线VB与平面EFG所成的角．
方法二：建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设VA=VB=1，BC=，我们分别求出直线VB的方向向量和平面EFG的一个法向量，代入向量夹角公式，即可得到直线VB与平面EFG所成的角．
点评：本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合题，平面与平面平行的判定，直线与平面所成的角，其中（1）的关键是证得EF∥CD，FG∥VC，（II）中方法一的关键是得到直线VB与平面EFG所成的角等于直线VB与平面VCD所成的角，方法二的关键是建立适当的空间坐标系，将线面夹角问题转化为向量夹角问题．