Question

已知f（x）=x³-3x+m，在区间[0，2]上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则m的取值范围是（　　）

A．m＞2

B．m＞4

C．m＞6

D．m＞8

Answer 1

分析：三角形的边长为正数，而且任意两边之和大于第三边才能构成三角形，故只需求出函数在区间[0，2]上的最小值与最大值，从而可得不等式，即可求解．

解答：解：由f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）=0得到x₁=1，x₂=-1（舍去）
∵函数的定义域为[0，2]
∴函数在（0，1）上f′（x）＜0，（1，2）上f′（x）＞0，
∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，
则f（x）_min=f（1）=m-2，f（x）_max=f（2）=m+2，f（0）=m
由题意知，f（1）=m-2＞0  ①；
f（1）+f（1）＞f（2），即-4+2m＞2+m②
由①②得到m＞6为所求．
故选C

点评：本题以函数为载体，考查构成三角形的条件，解题的关键是求出函数在区间[0，2]上的最小值与最大值