【题目】已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.
(1)求的取值范围;
(2)试比较与的大小,并说明理由;
(3)设的两个极值点为,证明.
【答案】(1);(2);理由见解析;(3)证明见解析
【解析】
(1)根据函数在定义域内有两个不同极值点可知方程有两个不等正根,将问题转化为与在上有两个不同交点;利用过一点曲线的切线的求解方法可求出过原点与相切的直线的斜率,从而可得,解不等式求得结果;(2)令,求导后可知在上单调递减,从而可得,化简可得;(3)易知是方程的两根,令,可整理得到,从而将所证不等式化为,采用换元的方式可知只需证,恒成立;构造函数,,利用导数可知在上单调递增,可得,进而证得结论.
(1)由题意得:定义域为;
在上有两个不同极值点等价于方程有两个不等正根
即:与在有两个不同的交点
设过的的切线与相切于点
则切线斜率,解得:
过的的切线的斜率为:
,解得:
即的取值范围为:
(2)令,则
时,;时,
在上单调递增;在上单调递减
,即:
即:
(3)由(1)知,是方程的两根
即:,
设,则
原不等式等价于:
即:
设,则,只需证:,
设,
在上单调递增
即在上恒成立
所证不等式成立
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某公司计划投资A、B两种金融产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资量的算术平方根成正比例,其关系如图1,B产品的利润与投资量成正比例,其关系如图2(注:利润与投资量的单位:万元).
(1)分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式;
(2)该公司已有10万元资金,并全部投入A、B两种产品中,问:怎样分配这10万元投资,才能使公司获得最大利润?其最大利润为多少万元?
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某城市100户居民的月平均用电量(单位:度)以[160,180)[180,200)[200,220)[220,240)[240,260)[260,280)[280,300)分组的频率分布直方图如图所示:
(1)求直方图中的值;
(2)用分层抽样的方法从[260,280)和[280,300)这两组用户中确定6人做随访,再从这6人中随机抽取2人做问卷调查,则这2人来自不同组的概率是多少?
(3)求月平均用电量的众数和中位数.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,曲线C的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程和的直角坐标方程;
(2)设分别交于点,求的面积.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了适应高考改革,某中学推行“创新课堂”教学。高一平行甲班采用“传统教学”的教学方式授课,高一平行乙班采用“创新课堂”的教学方式授课,为了比较教学效果,期中考试后,分别从两个班中各随机抽取名学生的成绩进行统计分析,结果如下表:(记成绩不低于分者为“成绩优秀”)
(1)由以上统计数据填写下面的列联表,并判断是否有以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”?
(2)现从上述样本“成绩不优秀”的学生中,抽取3人进行考核,记“成绩不优秀”的乙班人数为,求的分布列和期望.
参考公式
临界值表
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的两个焦点分别为,离心率为,过的直线与椭圆交于两点,且的周长为
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与椭圆分别交于两点,且,试问点到直线的距离是否为定值,证明你的结论.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知命题p:k2﹣8k﹣20≤0,命题q:方程1表示焦点在x轴上的双曲线.
(1)命题q为真命题,求实数k的取值范围;
(2)若命题“p∨q”为真,命题“p∧q”为假,求实数k的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在极坐标系中,曲线的极坐标方程为.现以极点为原点,极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系,直线的参数方程为(为参数).
(1)求曲线的直角坐标系方程和直线的普通方程;
(2)点在曲线上,且到直线的距离为,求符合条件的点的直角坐标.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com