Question

函数f(x)的定义域为R，对任意x、yR,都有f(x＋y)＝f(x)f(y),且x>0时，0<f(x)<1.

(1)当x<0时，试比较f(x)与1的大小；

(2)f(x)是否具有单调性，并证明你的结论；

(3)若集合M＝{(x,y)|f(x²)f(y²)>f(1)},N＝{(x,y)|f(ax－y＋2)＝1},MN＝,求实数a的取值范围.

 

Answer 1

答案：
提示：

提示:(1)设y＝0,x>0,则f(x)＝f(x)f(0).f(x)0,∴f(0)＝1.取x＝x1,y＝－x,则f(x－x)＝f(x)f(－x)＝1x<0,－x>0,0<f(－x)<1,∴f(x)>1. (2)任取x1、x2R,x1<x2,则 f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f[(x2－x1)＋x1]＝f(x1)－f(x＝－x1)f(x1)＝f(x1)[1－f(x2－x1)]. f(x1)>0,1－f(x2x1)>0, ∴f(x1)>f(x2). ∴函数f(x)在R上为减函数. (3)由题意得－a(数形结合求解). 点拨：在本题的求解过程中，要注意理解等式f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]的作用，这种构造思想要细心体会，灵活掌握.