Question

8、棱长都相等的四面体称为正四面体．在正四面体A-BCD中，点M，N分别是CD和AD的中点，
给出下列命题：
①直线MN∥平面ABC；
②直线CD⊥平面BMN；
③三棱锥B-AMN的体积是三棱锥B-ACM的体积的一半．
则其中正确命题的序号为

①③

．

Answer 1

分析：由点M，N分别是CD和AD的中点，结合三角形中位线定理及线面平等的判定定理我们可以判断①的对错，然后再由线面垂直的判定及性质可以判断②的真假；再由棱锥体积公式，分析两个三棱锥的高与底面积之间的关系，判断出③的正误，即可得到答案．

解答：解：∵点M，N分别是CD和AD的中点，
∴MN∥AC
又由MN?平面ABC，AC?平面ABC
∴①直线MN∥平面ABC正确；
由于∠ACD=60°
∴AC与CD不垂直，则NM与CD也不垂直
故直线CD与平面BMN也不垂直
∴②直线CD⊥平面BMN错误；
∵三棱锥B-AMN与三棱锥B-ACM的高相等．
△AMN与△ACM高相等且底边之比为1：2
∴③三棱锥B-AMN的体积是三棱锥B-ACM的体积的一半正确．
故答案为：①、③

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质及棱锥的体积，熟练掌握正四面体的几何特征，是解答本题的关键．