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若实数a>0且a≠2,函数f(x)=数学公式ax3-数学公式(a+2)x2+2x+1.
(1)证明函数f(x)在x=1处取得极值,并求出函数f(x)的单调区间;
(2)若在区间(0,+∞)上至少存在一点x0,使得f(x0)<1成立,求实数a的取值范围.

解:(1)由已知可得: (2分)
当a>2时,自变量x,以及f(x),f′(x)的变化情况如下表:
x 1(1,+∞)
f′(x)+0-0+
f(x)极大值极小值
∴函数在x=1处取得极值,f(x)的单调递增区间是,(1,+∞)
单调递减区间是 (4分)
当0<a<2时自变量x,以及f(x),f′(x)的变化情况如下表:
x(-∞,1)1
f′(x)+0-0+
f(x)极大值极小值
∴函数f(x)在x=1处取得极值,f(x)的单调递增区间是(-∞,1)和,单调递减区间是 (6分)
(2)因为f(0)=1,由(1)知要使在区间(0,+∞)上至少存在一点x0,使得f(x0)<1成立,
只需在区间(0,+∞)上f(x)极小值<1即可 (8分)
当a>2时,f(x)极小值=f(1)=2-<1,所以a>6
当0<a<2时,恒成立,
所以
综上所述,实数a的取值范围为 (12分)
分析:(1)可以求出函数的导数,利用导数研究单调区间,对于含有一个参数的单调区间问题,要注意讨论参数a的情况,即:0<a<2和a>2来进行讨论,要对x,以及f(x),f′(x)的变化情况表列正确.
(2)本题可以转化为函数f(x)在区间(0,+∞)上f(x)极小值<1即可解答,可以利用(1)的结论,注意对参数a的讨论.
点评:本题考查函数的导数及其应用,求函数的极值,判断函数取得极值的条件以及应用,利用导数研究含一个参数a的函数的单调区间问题,考查了分类讨论思想.
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科目:高中数学 来源: 题型:

若实数a>0且a≠2,函数f(x)=
1
3
ax3-
1
2
(a+2)x2+2x+1.
(1)证明函数f(x)在x=1处取得极值,并求出函数f(x)的单调区间;
(2)若在区间(0,+∞)上至少存在一点x0,使得f(x0)<1成立,求实数a的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

若实数a>0且a≠2,函数f(x)=
1
3
ax3-
1
2
(a+2)x2+2x+1

(1)若a>2,求函数f(x)的单调区间;
(2)若在区间(0,+∞)上存在一点x0,使得f(x0)<1成立,求实数a的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

若实数a>0且a≠2,函数f(x)=
1
3
ax3-
1
2
(a+2)x2+2x+1

(1)若a>2,求函数f(x)的单调区间;
(2)若在区间(0,+∞)上存在一点x0,使得f(x0)<1成立,求实数a的取值范围.

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科目:高中数学 来源:2009-2010学年浙江省宁波市八校联考高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版) 题型:解答题

若实数a>0且a≠2,函数f(x)=ax3-(a+2)x2+2x+1.
(1)证明函数f(x)在x=1处取得极值,并求出函数f(x)的单调区间;
(2)若在区间(0,+∞)上至少存在一点x,使得f(x)<1成立,求实数a的取值范围.

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