Question

14．若函数f（x）=xlnx-ax²有两个极值点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $（{0，\frac{1}{2}}）$
• B． $（{\frac{1}{2}，1}）$
• C． （1，2）
• D． （2，e）

Answer 1

分析 f（x）=xlnx-ax²（x＞0），f′（x）=lnx+1-2ax．令g（x）=lnx+1-2ax，由于函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点?g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．求出g（x）的导数，当a≤0时，直接验证；当a＞0时，利用导数研究函数g（x）的单调性可得，要使g（x）有两个不同解，只需要g（$\frac{1}{2a}$）=ln$\frac{1}{2a}$＞0，解得即可．

解答 解：f（x）=xlnx-ax²（x＞0），f′（x）=lnx+1-2ax．
令g（x）=lnx+1-2ax，
∵函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点，则g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．
g′（x）=$\frac{1}{x}$-2a=$\frac{1-2ax}{x}$，
当a≤0时，g′（x）＞0，则函数g（x）在区间（0，+∞）单调递增，因此g（x）=0在区间（0，+∞）上不可能有两个实数根，应舍去．
当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=$\frac{1}{2a}$，
令g′（x）＞0，解得0＜x＜$\frac{1}{2a}$，此时函数g（x）单调递增；
令g′（x）＜0，解得x＞$\frac{1}{2a}$，此时函数g（x）单调递减．
∴当x=$\frac{1}{2a}$时，函数g（x）取得极大值．
当x趋近于0与x趋近于+∞时，g（x）→-∞，
要使g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根，
则g（$\frac{1}{2a}$）=ln$\frac{1}{2a}$＞0，解得0＜a＜$\frac{1}{2}$．
∴实数a的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$）．
故选：A．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．