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证明下列恒等式:
(1)1+sinα=(sin
α
2
+cos
α
2
2
(2)
1+sin2α-cos2α
1+sin2α+cos2α
=tanα;
(3)
1+sinα
cosα
=
1+tan
α
2
1-tan
α
2

(4)tanα+cotα=
2
sin2α
考点:三角函数恒等式的证明
专题:证明题,三角函数的求值
分析:(1)由右边化简,运用平方关系和二倍角公式,即可得证;
(2)运用二倍角的正弦和余弦公式,由左边证得右边;
(3)由左边运用平方关系和二倍角公式,因式分解,即可得到右边;
(4)由左边运用切化弦,结合配方关系和二倍角的正弦公式,即可得到右边.
解答: 证明:(1)由于(sin
α
2
+cos
α
2
2=sin2
α
2
+cos2
α
2
+2sin
α
2
cos
α
2

=1+sinα,
则有1+sinα=(sin
α
2
+cos
α
2
2
(2)
1+sin2α-cos2α
1+sin2α+cos2α
=
(1-cos2α)+sin2α
(1+cos2α)+sin2α

=
2sin2α+2sinαcosα
2cos2α+2sinαcosα

=
2sinα(sinα+cosα)
2cosα(cosα+sinα)
=tanα,
1+sin2α-cos2α
1+sin2α+cos2α
=tanα;
(3)
1+sinα
cosα
=
sin2
α
2
+cos2
α
2
+2sin
α
2
cos
α
2
cos2
α
2
-sin2
α
2

=
(cos
α
2
+sin
α
2
)2
(cos
α
2
-sin
α
2
)(cos
α
2
+sin
α
2
)
=
cos
α
2
+sin
α
2
cos
α
2
-sin
α
2
=
1+tan
α
2
1-tan
α
2

1+sinα
cosα
=
1+tan
α
2
1-tan
α
2

(4)tanα+cotα=
sinα
cosα
+
cosα
sinα
=
sin2α+cos2α
sinαcosα

=
1
1
2
sin2α
=
2
sin2α

即有tanα+cotα=
2
sin2α
点评:本题考查三角恒等式的证明,考查同角的平方关系和商数关系的运用,考查二倍角公式的运用,考查化简整理的能力,属于基础题.
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AB
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2
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2
3
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1
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3-1
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=alnx
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