Question

如图，海岸线MAN，∠A=

2π

3

，现用长为6的拦网围成一养殖场，其中B∈MA，C∈NA．
（1）若BC=6，求养殖场面积最大值；
（2）若AB=2，AC=4，在折线MBCN内选点D，使BD+DC=6，求四边形养殖场DBAC的最大面积（保留根号）．

Answer 1

分析：（1）设AB为x，AC为y，根据BC=6，∠A=

2π

3

，结合余弦定理及基本不等式可得xy的范围，代入三角形面积公式，可得养殖场面积最大值；
（2）由AB=2，AC=4，∠A=

2π

3

，结合余弦定理，可求出BC长，若四边形养殖场DBAC的最大面积，则△DBC面积最大即可，根据椭圆的定义及几何特征，D为以BC为焦点的椭圆的短轴顶点时满足条件．

解答：解：（1）设AB=x，AC=y，x＞0，y＞0．
BC²=x²+y²-2xycos

2π

3

≥2xy-2xy（-

1

2

），
∴xy≤12，
S=

1

2

xysin

2π

3

≤3

3

所以，△ABC面积的最大值为 3

3

，当且仅当x=y时取到．
（2）∵AB=2，AC=4，
BC=

AB2+AC2-2•AB•AC•cos 2π 3

=2

7

，
由DB+DC=6，知点D在以B、C为焦点的椭圆上，
∵S_△ABC=2

3

为定值
只需故四边形养殖场DBAC的面积最大时，仅需△DBC面积最大，需此时点D到BC的距离最大，即D必为椭圆短轴顶点，
S_△BCD面积的最大值为

14

，
因此，四边形ACDB面积的最大值为 2

3

+

14

点评：本题考查的知识点是解三角形的实际应用，余弦定理，椭圆的定义及几何性质，难度较大，属于难题．