Question

16．若函数f（x）=a-$\frac{1}{|x|}$（a为常数），若函数f（x）在区间[m，n]上的值域为[m，n]（m＜n），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 可设y=f（x），由已知条件便知方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=a-\frac{1}{|x|}}\\{y=x}\end{array}\right.$至少有两个解，从而得到$x=a-\frac{1}{|x|}$至少有两个解，需讨论x：x＞0，便有x²-ax+1=0至少一解，从而有$\left\{\begin{array}{l}{△≥0}\\{\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}＞0}\end{array}\right.$，这样可解出一个a的范围，同样的方法求出x＜0时的a的范围，这两个范围求交集即可得出实数a的取值范围．

解答 解：设y=f（x），根据题意方程组：$\left\{\begin{array}{l}{y=a-\frac{1}{|x|}}\\{y=x}\end{array}\right.$至少有两个解；
∴$x=a-\frac{1}{|x|}$（1）至少有两个解；
①若x＞0，上面方程变成x²-ax+1=0，则该方程在（0，+∞）上至少一个解；
∴$\left\{\begin{array}{l}{△={a}^{2}-4≥0}\\{\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}＞0}\end{array}\right.$；
解得a≥2；
②若x＜0，方程（1）变成x²-ax-1=0，则该方程在（-∞，0）上至少有一个解；
∵△=a²+4＞0；
∴a需满足$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+4}}{2}＜0$，显然成立；
∴综上得实数a的取值范围为[2，+∞）．

点评 考查函数值域的概念，将函数值域问题转变成方程组解的情况，一元二次方程有解时，判别式△的取值情况，以及一元二次方程的求根公式．