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    【题目】已知双曲线的两个焦点坐标分别为和，双曲线的一条切线与轴交于，且斜率为2.

    （1）求双曲线的方程；

    （2）若切线与双曲线的切点为，证明：.

    【答案】（1）（2）见解析

    【解析】

    解法1 设双曲线方程为.

    由于其与直线，即相切，

    则联立方程组只有唯一一组解.

    故关于的方程①有两个相等的实根，其判别式，即

    .②

    由双曲线的两个焦点坐标得其半焦距为.

    则.

    与式②联立解得，.

    因此，双曲线方程为，且式①关于的方程变为

    .

    代入，得.

    这表明，切点.

    因此，直线的斜率为，其中，是切线的斜率.

    又点与的横坐标相同，则

    轴.

    解法2 设双曲线方程为.

    由半焦距，知.

    又设点.则过的切线方程为.

    与所给的切线方程，即比较知，.

    将其代入，得.

    与联立解得，.

    因此，双曲线的方程为.

    从而，切点坐标为.

    余下同解法1.

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