Question

2．如图，圆A：（x+1）²+y²=16，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．
（1）证明：|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
（2）设点E的轨迹为曲线C，直线l交C₁于M，N两点，过B且与l垂直的直线与元A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程；
（2）设直线l：x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN|，由PQ⊥l，设PQ：y=-m（x-1），求得A到PQ的距离，再由圆的弦长公式可得|PQ|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．

解答 解：（1）因为|AD|=|AC|，EB∥AC，故∠EBD=∠ACD=∠ADC，
所以|EB|=|ED|，故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|，
又圆A的标准方程为（x+1）²+y²=16，从而|AD|=4，所以|EA|+|EB|=4，
由题设得A（-1，0），B（1，0），|AB|=2＜|EA|+|EB|，
由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1（y≠0）$．
（2）当l与x轴不垂直时，设l的方程为y=k（x-1）（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
则${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{4{k^2}+3}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-12}}{{4{k^2}+3}}$，
所以$|MN|=\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}-{x_2}|$=$\frac{{12（{k^2}+1）}}{{4{k^2}+3}}$，
过点B（1，0）且与l垂直的直线m：$y=-\frac{1}{k}（x-1）$，点A到m的距离为$\frac{2}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，
所以$|PQ|=2\sqrt{{4^2}-{{（\frac{2}{{\sqrt{{k^2}+1}}}）}^2}}=4\sqrt{\frac{{4{k^2}+3}}{{{k^2}+1}}}$，
故四边形MPNQ的面积$S=\frac{1}{2}|MN||PQ|=12\sqrt{1+\frac{1}{{4{k^2}+3}}}$．
可得当l与x轴不垂直时，由k≠0，得四边形MPNQ面积的取值范围为$（12，8\sqrt{3}）$．
当l与x轴垂直时，其方程为x=1，|MN|=3，|PQ|=8，四边形MPNQ的面积为12．
综上，四边形MPNQ面积的取值范围为$[12，8\sqrt{3}）$．

点评 本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于中档题．