Question

（2012•奉贤区一模）函数f(x)=

x+ 1 2 ，x∈[0， 1 2 ) 2(1-x)，x∈[ 1 2 ，1]

，定义f（x）的第k阶阶梯函数fk(x)=f(x-k)-

k

2

，x∈(k，k+1]，其中k∈N^*，f（x）的各阶梯函数图象的最高点P_k（a_k，b_k），最低点Q_k（c_k，d_k）．
（1）直接写出不等式f（x）≤x的解；
（2）求证：所有的点P_k在某条直线L上．
（3）求证：点Q_k到（2）中的直线L的距离是一个定值．

Answer 1

分析：（1）按分段函数分段标准讨论x，然后解不等式f（x）≤x即可；
（2）先求出函数f_k（x）的解析式，然后研究函数f_k（x）的单调性，从而得到f（x）的第k阶阶梯函数图象的最高点P_k的坐标，然后求出过P_kP_k+1这两点的直线的斜率和过P_k+1P_k+2这两点的直线的斜率，可证得所有的点P_k在某条直线L上．
（3）先求出求得最低点Qk(k+1，

-k

2

)，利用点到直线L的距离公式求得结果为定值．

解答：解：（1）当x∈[0，

1

2

]时，故不等式f（x）=x+

1

2

≤x，x无解；
当x∈[

1

2

，1]时，f（x）=2（1-x）≤x，解得x∈[

2

3

，1]．
不等式f（x）≤x的解集为 [

2

3

，1]．---------（4分）
（2）由f（x）的第k阶阶梯函数的定义可得
fk(x)=

x+ 1-3k 2 ，x∈(k，k+ 1 2 ] 2(1-x)+ 3k 2 ， x∈[k+ 1 2 ，k+1]

，k∈N^*．----（6分）
且fk(x)=

x+ 1-3k 2 ，x∈(k，k+ 1 2 ]是增函数 2(1-x)+ 3k 2 ， x∈[k+ 1 2 ，k+1]是减函数

．
∴f（x）的第k阶阶梯函数图象的最高点为Pk(k+

1

2

，1-

k

2

)，-----（7分）
第k+1阶阶梯函数图象的最高点为Pk+1(k+

3

2

，1-

k+1

2

)，
所以过P_kP_k+1这两点的直线的斜率为-

1

2

．--------（8分）
同理可得过P_k+1P_k+2这两点的直线的斜率也为-

1

2

．
所以f（x）的各阶阶梯函数图象的最高点共线，且直线方程为y-1=-

1

2

(x-

1

2

)，
即 2x+4y-5=0．----（10分）
（3）证明：同理求得最低点：Qk(k+1，

-k

2

)，点Q_k到（2）中的直线L的距离为
d=

|2(k+1)-2k-5|

22+42

=

3 5

10

．-----（12分）

点评：本题主要考查了分段函数的性质，以及函数的单调性和最值，同时考查了分类讨论的数学思想和运算求解的能力，属于中档题．