Question

6．已知圆C过点A（1，4），B（3，2），且圆心在x轴上，求圆C的方程．

Answer 1

分析 法一：设圆C：（x-a）²+y²=r²，利用待定系数法能求出圆C的方程．
法二：设圆C：x²+y²+Dx+F=0，利用待定系数法能求出圆C的方程．
法三：由已知圆心C必在线段AB的垂直平分线l上，AB的中点为（2，3），由此能求出圆心C的坐标和半径，从而能求出圆C的方程．

解答 解法一：设圆C：（x-a）²+y²=r²，（1分）
则$\left\{\begin{array}{l}{（1-a）^2}+{4^2}={r^2}\\{（3-a）^2}+{2^2}={r^2}\end{array}\right.$（7分）
解得$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\{r^2}=20.\end{array}\right.$所以圆C的方程为（x+1）²+y²=20．（12分）
解法二：设圆C：x²+y²+Dx+F=0，（1分）
则$\left\{\begin{array}{l}17+D+F=0\\ 13+3D+F=0\end{array}\right.$（7分）
解得$\left\{\begin{array}{l}D=2\\ F=-19.\end{array}\right.$所以圆C的方程为x²+y²+2x-19=0．（12分）
解法三：因为圆C过两点A（1，4），B（3，2），所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上，
又因为${k_{AB}}=\frac{4-2}{1-3}=-1$，所以k_l=1，又AB的中点为（2，3），
故AB的垂直平分线l的方程为y-3=x-2，即y=x+1．
又圆心C在x轴上，所以圆心C的坐标为（-1，0），（6分）
所以半径$r=|AC|=\sqrt{{{（1+1）}^2}+{4^2}}=\sqrt{20}$，
所以圆C的方程为（x+1）²+y²=20．（12分）

点评 本题考查圆的方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．