Question

20．（1）已知$f（\frac{1}{x}）=\frac{x}{{1-{x^2}}}$，求函数f（x）的解析式．
（2）已知二次函数f（x）满足f（0）=2，f（x+1）-f（x）=2x-1对任意实数x都成立，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用换元法求解函数f（x）的解析式．
（2）利用待定系数法求解函数f（x）的解析式．

解答 解：（1）已知$f（\frac{1}{x}）=\frac{x}{{1-{x^2}}}$，
令$\frac{1}{x}=t，（t≠0）$
则x=$\frac{1}{t}$，
那么有g（t）=$\frac{\frac{1}{t}}{1-（\frac{1}{t}）^{2}}$=$\frac{t}{{t}^{2}-1}$
∴函数f（x）的解析式．f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}-1}，（x≠0）$
（2）由题意，f（x）是二次函数，设f（x）=ax²+bx+c，（a≠0）
∵f（0）=2，
∴C=2，
则f（x）=ax²+bx+2．
那么：f（x+1）-f（x）=a（x+1）²+b（x+1）+c-ax²-bx-c=2ax+a+b
∵2x-1=2ax+a+b，
即2a=2，a+b=-1，
解得：a=1，b=-2
∴函数f（x）的解析式为f（x）=x²-2x+2．

点评 本题考查了函数解析式的求法，利用了换元法和待定系数法求解．属于基础题．