【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数);以原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(Ⅰ)求曲线的普通方程与曲线
的直角坐标方程;
(Ⅱ)若把曲线各点的横坐标伸长到原来的
倍,纵坐标变为原来的
,得到曲线
,求曲线
的方程;
(Ⅲ)设为曲线
上的动点,求点
到曲线
上点的距离的最小值,并求此时点
的坐标.
【答案】(Ⅰ),
.
(Ⅱ).
(Ⅲ)
,此时
的坐标为
.
【解析】分析:(Ⅰ)直接消参得到直角坐标方程,利用极坐标公式把极坐标化成直角坐标方程.( Ⅱ)利用伸缩变换公式求曲线的方程.( Ⅲ) 设椭圆上的点
,再求d的表达式,最后利用三角函数的图像性质求点
到曲线
上点的距离的最小值,并求此时点
的坐标.
详解:(Ⅰ)由曲线:
(
)得
(
为参数),
∴,
即为曲线
的普通方程.
由曲线
,得
,
∴即为
的直角坐标方程.
(Ⅱ)依题意,设是曲线
上任意一点,对应曲线
上的点为
,
则有, ∴
.
∵ :
,∴
.
即所求曲线的方程为
.
(Ⅲ)易知,椭圆与直线
无公共点,设椭圆上的点
,
从而点到直线
的距离为
∴当时,
,
此时,
,∴点
的坐标为
.
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【题目】某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数:其中x是仪器的月产量.
(1)将利润表示为月产量的函数;
(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润是多少元?(总收益=总成本+利润.)
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【题目】给出下列说法,正确的有__________.
①与共线单位向量的坐标是
;
②集合与集合
是相等集合;
③函数的图象与
的图象恰有3个公共点;
④函数的图象是由函数
的图象水平向右平移一个单位后,将所得图象在
轴右侧部分沿
轴翻折到
轴左侧替代
轴左侧部分图象,并保留右侧部分而得到.
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【题目】对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下:若两直线中至少有一条与圆相切,则称该位置关系为“平行相切”;若两直线都与圆相离,则称该位置关系为“平行相离”;否则称为“平行相交”.已知直线l1:ax+3y+6=0,l2:2x+(a+1)y+6=0与圆C:x2+y2+2x=b2-1(b>0)的位置关系是“平行相交”,则实数b的取值范围为 ( )
A. (,
) B. (0,
)
C. (0, ) D. (
,
)∪(
,+∞)
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【题目】已知圆C的圆心C在直线上.
若圆C与y轴的负半轴相切,且该圆截x轴所得的弦长为
,求圆C的标准方程;
已知点
,圆C的半径为3,且圆心C在第一象限,若圆C上存在点M,使
为坐标原点
,求圆心C的纵坐标的取值范围.
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【题目】将5名报名参加运动会的同学分别安排到跳绳、接力,投篮三项比赛中(假设这些比赛都不设人数上限),每人只参加一项,则共有种不同的方案;若每项比赛至少要安排一人时,则共有
种不同的方案,其中
的值为( )
A. 543 B. 425 C. 393 D. 275
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【题目】下列有关线性回归分析的四个命题:
①线性回归直线必过样本数据的中心点();
②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线;
③当相关性系数时,两个变量正相关;
④如果两个变量的相关性越强,则相关性系数就越接近于
.
其中真命题的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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