Question

已知f （x）、g（x）都是定义在R上的函数，如果存在实数m、n使得h （x）=m f（x）+ng（x），那么称h （x）为f （x）、g（x）在R上生成的一个函数．设f （x）=x²+ax，g（x）=x+b（a，b∈R），l（x）=2x²+3x-1，h （x）为f （x）、g（x）在R上生成的一个二次函数．
（Ⅰ）设a=1，b=2，若h （x）为偶函数，求；
（Ⅱ）设b＞0，若h （x）同时也是g（x）、l（x）在R上生成的一个函数，求a+b的最小值；
（Ⅲ）试判断h（x）能否为任意的一个二次函数，并证明你的结论．

Answer 1

（Ⅰ）解：设h（x）=mf（x）+ng（x），则h（x）=m（x²+x）+n（x+2）=mx²+（m+n）x+2n（m≠0），
因为h（x）为一个二次函数，且为偶函数，
所以二次函数h（x）的对称轴为y轴，即，
所以n=-m，则h（x）=mx²-2m，
则；（3分）
（Ⅱ）解：由题意，设h（x）=mf（x）+ng（x）=mx²+（am+n）x+bn（m，n∈R，且m≠0）
由h（x）同时也是g（x）、l（x）在R上生成的一个函数，
知存在m₀，n₀使得h（x）=m₀g（x）+n₀l（x）=2n₀x²+（m₀+3n₀）x+（bm₀-n₀），
所以函数h（x）=mx²+（am+n）x+bn=2n₀x²+（m₀+3n₀）x+（bm₀-n₀），
则，（5分）
消去m₀，n₀，得，
因为m≠0，所以，（7分）
因为b＞0，
所以（当且仅当时取等号），
故a+b的最小值为．（9分）
（Ⅲ）结论：函数h（x）不能为任意的一个二次函数．
以下给出证明过程．
证明：假设函数h（x）能为任意的一个二次函数，
那么存在m₁，n₁使得h（x）为二次函数y=x²，记为h₁（x）=x²，
即h₁（x）=m₁f（x）+n₁g（x）=x²；①
同理，存在m₂，n₂使得h（x）为二次函数y=x²+1，记为h₂（x）=x²+1，
即h₂（x）=m₂f（x）+n₂g（x）=x²+1．②
由②-①，得函数h₂（x）-h₁（x）=（m₂-m₁）f（x）+（n₂-n₁）g（x）=1，
令m₃=m₂-m₁，n₃=n₂-n₁，化简得m₃（x²+ax）+n₃（x+b）=1对x∈R恒成立，
即m₃x²+（m₃a+n₃）x+n₃b=1对x∈R恒成立，
所以，即，
显然，n₃b=0×b=0与n₃b=1矛盾，
所以，假设是错误的，
故函数h（x）不能为任意的一个二次函数．（14分）
注：第（Ⅲ）问还可以举其他反例．如h₁（x）=2x²，h₂（x）=2x²+1，
分析：（I）用待定系数法构造出二次函数，根据其性质研究参数的值或关系，进而求出；
（II）根据题意用两种方式构造出h（x），因为是同一个函数，所以两者的同次项的系数相等，故可以建立相应参数的方程组，从此方程组中构造出关于a，b的函数关系来，再用求最值的方法求值．
（III）做此题时要注意格式，先给出答案，再进行证明，此类题条件少，属开放型题，直接证明外延太广，无法证明，所以一般采取反证法．假设命题的对立面成立，然后推出矛盾来，说明假设不成立，其对立面即原来的命题是成立的．
点评：考查对于抽象型的函数进行逻辑推理与分析的能力，本题难度较大，且解题方法较单一，属能力型的题目，对答题者数学的综合素养要求较高．