【题目】已知在几何体中，四边形
是边长为
的正方形，且
平面，
，且
，
与平面所成角的正切值为
.
（1）求证：平面
平面
；
（2）求二面角
的大小.
【答案】（1）详见解析；（2）
.
【解析】试题分析：(1) 取
的中点
，连接
，
,结合已知条件证得
平面
，由勾股定理得
，利用定理证得结果
以点
为原点，分别以
，
，
所在直线为
，
，
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求平面
的法向量为
，求平面
的法向量为
，运用公式求出结果
解析：（1）取的中点，连接，，
∵
平面
，
，
∴
在平面内的射影为
，
∵
，又
，∴
，
∴四边形
为平行四边形，
∴
，
∴
为与平面所成的角.
∵
，
∴
，
，
∴
，设
，连接
，
.
∵
，
，
，
∴平面，
∵
平面，∴
.
∵
，
，
.
∴
，
∴，又
，
∴
平面
.
又∵平面
.∴平面
平面.
（2）∵，，两两垂直，以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则
，
，
，
，
则
，
，
，
设平面的法向量为
，
则
即
取
，
得
.
设平面的法向量为
，
即
取
，得
.
设二面角
的平面角为
，
∵
，
∴
，即二面角的大小为
.
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【题目】如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(管道构成Rt△FHE，H是直角项点)来处理污水．管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB＝20米，AD＝
米，记∠BHE＝
．
（1）试将污水净化管道的长度L表示为的函数，并写出定义域；
（2）当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度L．
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【题目】在
中，
，
分别为
，
的中点，
，如图1.以
为折痕将
折起，使点
到达点
的位置，如图2.
如图1 如图2
（1）证明：平面
平面
；
（2）若平面
平面
，求直线
与平面
所成角的正弦值。
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【题目】下列命题正确的是（ ）
A. 命题
的否定是：
B. 命题
中，若
，则
的否命题是真命题
C. 如果
为真命题，
为假命题，则
为真命题，
为假命题
D. 
是函数
的最小正周期为
的充分不必要条件
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【题目】（10分）四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H．
（1）求四面体ABCD的体积；
（2）证明：四边形EFGH是矩形．
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【题目】已知椭圆
的焦点与双曲线
的焦点重合，过椭圆
的右顶点
任意作直线
，交抛物线
于
，
两点，且
，其中
为坐标原点.
（1）试求椭圆的方程；
（2）过椭圆的左焦点
作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于点
、
、
、
，试求四边形
的面积
的取值范围.
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【题目】（本小题14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点.
（Ⅰ）求证：PE⊥BC；
（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD；
（Ⅲ）求证：EF∥平面PCD.
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【题目】已知定义在
上的函数
满足以下三个条件：
①对任意实数
，都有
；
②
；
③在区间
上为增函数．
（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（2）求证：
；
（3）解不等式
．
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【题目】柴静《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识，对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来，某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y进行统计分析，得出下表数据：
x | 4 | 5 | 7 | 8 |
y | 2 | 3 | 5 | 6 |
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出
关于
的线性回归方程
；
(3)试根据(2)求出的线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为
的雾霾天数．
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