Question

11．若不等式x²+ax+1＞0对于一切x∈（0，$\frac{1}{2}$]恒成立，则实数a的取值范围是（-$\frac{5}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 由题意，分离参数得到，a＞-（x+$\frac{1}{x}$）x∈（0，$\frac{1}{2}$]恒成立，构造函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$，求出函数的最值即可求得实数a的取值范围．

解答 解：不等式x²+ax+1＞0对于一切x∈（0，$\frac{1}{2}$]恒成立，
∴a＞-（x+$\frac{1}{x}$）x∈（0，$\frac{1}{2}$]恒成立，
设f（x）=x+$\frac{1}{x}$，
则f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0，
∴f（x）在∈（0，$\frac{1}{2}$]单调递减，
∴f（x）min=f（$\frac{1}{2}$）=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴a＞-$\frac{5}{2}$，
故答案为（-$\frac{5}{2}$，+∞）．

点评 此题考查求参数范围，一般用分离参数法，进而转化为求函数的值域，利用导数求出函数的最值，属基础题．