Question

我们为了探究函数 f(x)=x+

4

x

，x∈(0，+∞)的部分性质，先列表如下：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	8.5	5	4.17	4.05	4.005	4	4.005	4.02	4.04	4.3	5	5.8	7.57	…

请你观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
首先比较容易的看出来：此函数在区间（0，2）上是递减的；
（1）函数f(x)=x+

4

x

(x＞0)在区间

（2，+∞）

上递增．当x=

2

时，y_最小=

4

．
（2）请你根据上面性质作出此函数的大概图象；
（3）证明：此函数在区间上（0，2）是递减的．

Answer 1

分析：（1）根据表中y值随x值变化的特点，可得结论；
（2）根据单调性和最值画出此函数的大概图象；
（3）利用函数在（0，2）上的导数符号从而确定函数在区间上（0，2）的单调性．

解答：解：（1）根据表中y值随x值变化的特点可知f（x）在（2，+∞）上单调递增，当x=2时y_最小=4；
（2）图象如下图

（3）由f（x）=x+

4

x

，∴f′（x）=1-

4

x2

=

(x-2)(x+2)

x2

，
∵x∈（0，+∞），∴当0＜x＜2时，f′（x）＜0，
∴此函数在区间上（0，2）是递减的．
故答案为：（2，+∞），2，4

点评：本题主要考查了函数单调性的判断与证明，利用导数证明单调性是常用的方法，同时考查了作图能力，属于中档题．