Question

某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为210吨。      
（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求每吨产品平均最低成本；
（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

Answer 1

（1）年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元；  
（2）年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元。  

本题考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题、考查利用基本不等式求函数的最值需满足：一正、二定、三相等、考查求二次函数的最值关键看对称轴
（1）利用总成本除以年产量表示出平均成本；利用基本不等式求出平均成本的最小值．
（2）利用收入减去总成本表示出年利润；通过配方求出二次函数的对称轴；由于开口向下，对称轴处取得最大值．
解：（1）生产每吨产品的平均成本为
，             
由于，
当且仅当时，即时等号成立。     
答：年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元；  
（2）设年利润为，则 
，         
由于在上为增函数，故当
时，的最大值为1660。
答：年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元。