Question

已知|

a

|=1，|

b

|=2，

a

，

b

的夹角为

π

3

，试求：
（1）

a

+

b

与

a

-

b

夹角的余弦值．
（2）使向量

a

+λ

b

与λ

a

-

b

的夹角为钝角时，λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由向量数量积公式，算出

a

•

b

=1，从而得到|

a

+

b

|=

7

，|

a

-

b

|=

3

．最后用向量的夹角公式，即可得到

a

+

b

与

a

-

b

夹角的余弦值．
（2）根据题意，得向量

a

+λ

b

与λ

a

-

b

的数量积为负数，因此计算

a

+λ

b

与λ

a

-

b

的数量积并代入题中的数据，得到关于λ的一元二次不等式，解之即可得到实数λ的取值范围．

解答：解：∵|

a

|=1，|

b

|=2，

a

、

b

的夹角为

π

3

，
∴

a

•

b

=|

a

|×|

b

|cos

π

3

=1
（1）∵（

a

+

b

）²=

a

2+2

a

•

b

+

b

2=1+2×1+4=7，（

a

-

b

）²=

a

2-2

a

•

b

+

b

2=1-2×1+4=3，
∴|

a

+

b

|=

7

，|

a

-

b

|=

3

设

a

+

b

与

a

-

b

的夹角为α，则
cosα=

( a + b )( a - b )

| a + b |•| a - b |

=

1-4

7 × 3

=-

21

7

，
即

a

+

b

与

a

-

b

夹角的余弦值等于-

21

7

（2）根据题意，不存在λ值，使向量

a

+λ

b

与λ

a

-

b

的夹角为π，
∴向量

a

+λ

b

与λ

a

-

b

的夹角为钝角时，可得
（

a

+λ

b

）（λ

a

-

b

）＜0，即λ

a

2+（λ²-1）

a

•

b

-λ

b

2＜0
将|

a

|=1，|

b

|=2和

a

•

b

=1代入，可得
λ+（λ²-1）-4λ＜0，整理得λ²-3λ-1＜0
解这个不等式，得

3- 13

2

＜λ＜

3+ 13

2

因此λ的取值范围是（

3- 13

2

，

3+ 13

2

）．

点评：本题给出两个向量的模与夹角，求它们和向量与差向量夹角的大小，并讨论向量夹角为钝角的问题，着重考查了平面向量的数量积及其运算性质等知识，属于基础题．