Question

9．等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁，a₃，a₄成等比数列，则$\frac{{S}_{3}-{S}_{2}}{{S}_{5}-{S}_{3}}$的值为（　　）

• A． 1或2
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 2
• D． $\frac{1}{2}$或2

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的公差为d，由a₁，a₃，a₄成等比数列，可得${a}_{3}^{2}={a}_{1}{a}_{4}$，即$（{a}_{1}+2d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+3d）$，化为a₁=-4d≠0，或d=0．代入即可得出．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₁，a₃，a₄成等比数列，
∴${a}_{3}^{2}={a}_{1}{a}_{4}$，
即$（{a}_{1}+2d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+3d）$，
化为a₁=-4d≠0，或d=0．
则$\frac{{S}_{3}-{S}_{2}}{{S}_{5}-{S}_{3}}$=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{4}+{a}_{5}}$=$\frac{{a}_{1}+2d}{2{a}_{1}+7d}$=$\frac{-4d+2d}{-4d+7d}$=2，
或$\frac{{S}_{3}-{S}_{2}}{{S}_{5}-{S}_{3}}$=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{4}+{a}_{5}}$=$\frac{{a}_{1}+2d}{2{a}_{1}+7d}$=$\frac{1}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．