Question

（文）已知函数f（x）=2^x-1的反函数为f^-1（x），g（x）=log₄（3x+1）
（1）f^-1（x）；
（2）用定义证明f^-1（x）在定义域上的单调性；
（3）若f^-1（x）≤g（x），求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）从条件中函数式f（x）=2^x-1中反解出x，再将x，y互换即得．
（2）由（1）求出反函数的解析式及定义域，在定义域内任取两个自变量-1＜x₁＜x₂，化简f^-1（x₁）-f^-1（x₂）的结果，把此结果和0作对比，依据单调性的定义做出判断．
（3）把解析式代入不等式，利用对数函数的单调性和定义域解此不等式．

解答：解：（1）函数f（x）的值域为（-1，+∞），
由y=2^x-1得x=log₂（y+1），
所以f^-1（x）=log₂（x+1）（x＞-1）（4分）
（2）证明：任取-1＜x₁＜x₂，
f^-1（x₁）-f^-1（x₂）=log₂（x₁+1）-log₂（x₂+1）=log₂

x1+1

x2+1

由-1＜x₁＜x₂得0＜x₁+1＜x₂+1，因此
0＜

x1+1

x2+1

＜1得log₂

x1+1

x2+1

＜0
所以f^-1（x₁）＜f^-1（x₂）
故f^-1（x）在（-1，+∞）上为单凋增函数．（9分）
（3）f^-1（x）≤g（x）即
log₂（x+1）≤log₄（3x+1）?

x+1＞0 3x+1＞0 (x+1)2≤3x+1

?

x+1＞0 (x+1)2≤3x+1

（11分）
解之得0≤x≤1，所以x的取值范围是[0，2]（13分）

点评：本题考查反函数的求法，证明函数的单调性的方法，以及利用对数函数的单调性和定义域解对数不等式．求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=Ф（y）；（2）交换x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．