【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=BC=2,∠ABC=120°,AD=CD= ,直线PC与平面ABCD所成角的正切为 .
(1)设E为直线PC上任意一点,求证:AE⊥BD;
(2)求二面角B﹣PC﹣A的正弦值.
【答案】
(1)解:设O为线段AC的中点,由AB=BC知BO⊥AC,由AD=CD知DO⊥AC,从而B,O,D三点共线,即O为AC与DB的交点
又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD
又AC∩PA=A,所以DB⊥平面PAC
因为E为直线PC上任意一点,所以AE平面PAC,所以AE⊥BD
(2)解:以 所在方向为x轴, 所在方向为y轴,过O作AP的平行线为z轴,建立空间直角坐标系
由题意,AC=2 ,OB=1,OD=2
又PA⊥平面ABCD,故直线PC与平面ABCD所成角即为∠PCA,∴tan∠PCA
所以PA= ,所以B(﹣1,0,0),C(0,﹣ ,0),P(0, , )
, ∴
设平面BPC的法向量 ,由 ,有
解得 …(10分)
由(1),取平面PCA的法向量 .
所以cos< >=
所以二面角B﹣PC﹣A的正弦值为
【解析】(1)设O为线段AC的中点,由AB=BC知BO⊥AC,由AD=CD知DO⊥AC,从而B,O,D三点共线,即O为AC与DB的交点,可得DB⊥平面PAC即可得AE⊥BD;(2)以 所在方向为x轴, 所在方向为y轴,过O作AP的平行线为z轴,建立空间直角坐标系由题意,AC=2 ,OB=1,OD=2,又PA⊥平面ABCD,故直线PC与平面ABCD所成角即为∠PCA,由tan∠PCA 求得PA,利用向量求解
【考点精析】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系的相关知识点,需要掌握相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点才能正确解答此题.
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【题目】在数列{an}中,a1=﹣2101 , 且当2≤n≤100时,an+2a102﹣n=3×2n恒成立,则数列{an}的前100项和S100= .
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【题目】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时,研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.
(1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式;
(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=xv(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时).
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【题目】给出下列命题:
存在每个面都是直角三角形的四面体;
若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直;
棱台的侧棱延长后交于一点;
用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台;
其中正确命题的个数是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】(本小题满分12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3=5,S15="225."
(1)求数列{an}的通项an;
(2)设bn=+2n,求数列{bn}的前n项和Tn.
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【题目】有一个同学家开了一个奶茶店,他为了研究气温对热奶茶销售杯数的影响,从一季度中随机选取5天,统计出气温与热奶茶销售杯数,如表:
气温 | 0 | 4 | 12 | 19 | 27 |
热奶茶销售杯数 | 150 | 132 | 130 | 104 | 94 |
(Ⅰ)求热奶茶销售杯数关于气温的线性回归方程(精确到0.1),若某天的气温为,预测这天热奶茶的销售杯数;
(Ⅱ)从表中的5天中任取两天,求所选取两天中至少有一天热奶茶销售杯数大于130的概率.
参考数据:,.
参考公式:,.
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【题目】某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车,调查其续驶里程(单次充电后能行驶的最大里程),被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间,将统计结果分成5组:,绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中的值及续驶里程在的车辆数;
(2)若从续驶里程在的车辆中随机抽取2辆车,求其中恰有一辆车的续驶里程在内的概率.
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