Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，M为AB的中点．
（1）求证：BC∥平面PMD；
（2）求证：PC⊥BC；
（3）求点A到平面PBC的距离．

Answer 1

分析：（1）证明线面平行，利用线面平行的判定定理，证明BC∥DM即可；
（2）利用线面垂直证明线线垂直，即证BC⊥平面PCD；
（3）利用等体积转化求点A到平面PBC的距离．

解答：（1）证明：∵DC=1，AB=2，AB∥DC，M为AB的中点
∴四边形BCDM为平行四边形
∴BC∥DM
∵BC?平面PMD，DM?平面PMD
∴BC∥平面PMD；
（2）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PD⊥BC．
由∠BCD=90°，得BC⊥DC．
因为PD∩DC=D，PD?平面PCD，DC?平面PCD，所以BC⊥平面PCD．
因为PC?平面PCD，所以PC⊥BC．
（3）解：如图，连接AC．设点A到平面PBC的距离h．
因为AB∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°．
从而由AB=2，BC=1，得△ABC的面积为1．
由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积V=

1

3

S_△ABC×PD=

1

3

因为PD⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，
所以PD⊥DC．又PD=DC=1，
所以PC=

2

．
由PC⊥BC，BC=1，得△PBC的面积为

2

2

．
由V=

1

3

S_△PBC×h=

1

3

，得h=

2

．
因此点A到平面PBC的距离为

2

．

点评：本题考查线面平行，线面垂直，线线垂直，考查点到面的距离，解题的关键是掌握线面平行，线面垂直的判定方法，利用等体积转化求点面距离．