Question

如图，斜三棱柱ABC-A′B′C′中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，侧棱AA′与底面相邻两边AB，AC都成45°角．
（Ⅰ）求此斜三棱柱的表面积．
（Ⅱ）求三棱锥B′-ABC的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先判断斜三棱柱ABC-A′B′C′的三个侧面的形状，分别求出面积再相加，即为斜三棱柱的侧面积．
（Ⅱ）利用条件求出三棱锥B′-ABC的高，利用三棱锥的体积公式即可求三棱锥的体积．

解答：解：（Ⅰ）如图，过A'作A'D⊥平面ABC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接A'E，A'F，AD．
由题意可知∠A'AE=∠A'AF=45°，AA'=AA'，
于是Rt△A'AE≌Rt△A'AF．
因此A'E=A'F，从而可得DE=DF．
故AD平分∠BAC，
又∵AB=AC，
∴BC⊥AD．故BC⊥AA'．
∵AA'∥BB'，
∴BC⊥BB'．
因此四边形BCC'B'是矩形，
故斜三棱柱的侧面积为2×a×bsin45°+ab=（

2

+1）ab．
又∵斜三棱柱的底面积为2×

3

4

a²=

3

2

a²，
∴斜三棱柱的表面积为（

2

+1）ab+

3

2

a²．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知D为正三角形ABC的中心，
∵正三角形的边长为a，
∴AE=

2 b

2

，AD=

3

2

a•

2

3

=

3 a

3

，DE=

3 a

6

，
又AE²+DE²=AD²，
即(

2

2

b)2+(

3 a

6

)2=(

3 a

3

)2，
解得a=

2

b，
∴棱棱柱的高为A′D=

A′A2-A′D2

=

b2-( 3 3 a)2

=

b2- a2 3

=

b2- 2b2 3

=

3

3

b，
∴三棱锥B′-ABC的体积等于三棱锥A′-ABC的体积，即

1

3

×

1

2

a2sin60°×

3 b

3

=

1

3

×

1

2

×

3

2

×

3

3

a2b=

1

12

a2b．

点评：本题主要考查斜三棱柱的表面积求法以及三棱锥的体积计算，要求熟练掌握常见几何体的体积公式．