Question

（09年朝阳区统考）（13分）

如图，在正四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁中，已知AA₁=4，AB=2，点E在棱CC₁上，且CE=1.

   （Ⅰ）求证：BE∥平面AA₁D₁D；

   （Ⅱ）求二面角B―ED―C的大小；

   （Ⅲ）求证：A₁C⊥平面BDE．

Answer 1

解析：解法（一）

（Ⅰ）证明： 由已知，ABCD―A₁B₁C₁D₁为正四棱柱，

所以平面BB₁C₁C∥平面AA₁D₁D,

又因为BE平面BB₁C₁C，

所以，BE∥平面AA₁D₁D．                   ………………………………4分

 

（Ⅱ）解：如图1，过C作CH⊥ED于H，连接BH．

因为ABCD―A₁B₁C₁D₁为正四棱柱，

所以BC⊥平面CC₁D₁D，

所以CH是斜线BH在面CC₁D₁D上的射影,

由三垂线定理可知，BH⊥ED．

    所以∠BHC是二面角B―ED―C的平面角．

在RtECD中，易知．

因为, 所以．

在RtBCH中，,

所以.

故二面角B―ED―C的大小是．       …………………………………9分

（Ⅲ）如图2，连结AC交BD于点O,

因为ABCD―A₁B₁C₁D₁为正四棱柱，

AC⊥BD，AA₁⊥平面ABCD，

由三垂线定理可知，A₁C⊥BD．

连结B₁C，因为A₁B₁⊥平面B₁BCC₁，

所以B₁C 是A₁C在平面BB₁C₁C上的射影．

    设B₁C交BE于F,

由已知BB₁=AA₁=4，BC=AB=2，CE=1,

所以，所以BCE∽B₁BC.   

所以∠CBE=∠BB₁C. 

又因为∠CBE+∠B₁BE=90°,  所以∠BB₁C +∠B₁BE=90°,

所以∠B₁FB=90°,    所以B₁C⊥BE.

由三垂线定理可知，A₁C⊥BE，又，

所以A₁C⊥平面BDE．     …………………………………14分

 

解法（二）建立空间直角坐标系A―xyz，如图,

（Ⅰ）证明：

依题意可知E（2，2，1）,B（2，0，0）, 所以=（0，2，1）．

又因为, 为平面AA₁D₁D的法向量．

且，

所以，  而BE平面AA₁D₁D，

所以，BE∥平面AA₁D₁D．               …………………………………3分

（Ⅱ）因为E（2，2，1）,又B（2,0,0）,D(0,2,0),

所以=（0，2，1）, ．

  设平面BDE的法向量为,

由得  所以

所以．又面,所以为平面CDE的法向量．

因为,所以．

由图可知,二面角的平面角小于,

所以二面角B―ED―C的大小是．   …………………………………9分

（Ⅲ）解：由题意B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），A₁（0，0，4），

因为CE=1，则E（2，2，1），

所以,, ．

由，得A₁C⊥BD,

由，得A₁C⊥BE,

又，所以A₁C⊥平面BDE．     …………………………………13分