Question

设椭圆的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆和x轴正半轴于P，Q两点，且AP：PQ=8：5．
（1）求椭圆的离心率；
（2）已知直线l过点M（-3，0），倾斜角为，圆C过A，Q，F三点，若直线l恰好与圆C相切，求椭圆方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出P，Q，F坐标，利用以及AP：PQ=8：5，求出P的坐标代入椭圆方程，即可求椭圆的离心率；
（2）利用直线l过点M（-3，0），倾斜角为，求出直线的方程，通过圆C过A，Q，F三点，直线l恰好与圆C相切，圆心到直线的距离等于半径，求出a，b，c的值，即可求得椭圆方程．
解答：解：（1）设点Q（x，0），F（-c，0），P（x，y），其中，A（0，b）．
由AP：PQ=8：5，得，
即，得，…（2分）
点P在椭圆上，∴．①…（4分）
而，
∴．
∴．②…（6分）
由①②知2b²=3ac，
∴2c²+3ac-2a²=0．
∴2e²+3e-2=0，
∴． …（8分）
（2）由题意，得直线l的方程，即，
满足条件的圆心为，
又a=2c，∴，∴O′（c，0）． …（10分）
圆半径．              …（12分）
由圆与直线l：相切得，，…（14分）
又a=2c，∴．
∴椭圆方程为． …（16分）
点评：本题是中档题，考查题意的离心率的求法，直线与圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，考查计算能力，转化思想，常考题型．