Question

【题目】已知f（x）=x2﹣a|x﹣1|+b（a＞0，b＞﹣1）
（1）若b=0，a＞2，求f（x）在区间[0，2]内的最小值m（a）；
（2）若f（x）在区间[0，2]内不同的零点恰有两个，且落在区间[0，1），（1，2]内各一个，求a﹣b的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：b=0，a＞2时，f（x）=x2﹣a|x﹣1|，

当0≤x≤1时，f（x）=x2+ax﹣a，且在[0，1]递增，

可得f（0）取得最小值﹣a；

当1＜x≤2时，f（x）=x2﹣ax+a， ＞1，

当a＞4时， ＞2，在（1，2]递减，可得最小值f（2）=4﹣a；

当2＜a≤4时，1＜ ≤2，可得f（ ）取得最小值，且为a﹣ ．

由﹣a＜4﹣a，a﹣ ﹣（﹣a）= ＞0（2＜a≤4），

即有a﹣ ＞﹣a．

综上可得，m（a）=﹣a；

（2）解：由f（x）= ，

当0≤x＜1时，f（x）递增，可得f（0）f（1）≤0，

即为（b﹣a）（1+b）≤0①

当1＜x≤2时，f（x）有一个零点，可得f（1）f（2）≤0或f（ ）=0（2＜a≤4），

即为（1+b）（4﹣a+b）≤0或b= ﹣a②

由 或 或a﹣b= （2＜a≤4），

可得a﹣b≤0或a﹣b≥4或3＜a﹣b≤4，

综上可得a﹣b的范围是（﹣∞，0]∪（3，+∞）

【解析】（1）讨论当0≤x≤1时，当1＜x≤2时，同时对a讨论，可得f（x）的单调性，可得最小值；（2）将f（x）写成分段函数式，讨论当0≤x＜1时，当1＜x≤2时，由函数的零点存在定理，可得不等式组，解不等式即可得到所求范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．