Question

如图，已知∠BAC在平面α内，P∉α，∠PAB=∠PAC，求证：点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上．

Answer 1

证明：作PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，
垂足分别为O，E，F，连接OE，OF，OA，
∵

PE⊥AB，PF⊥AC ∠PAE=∠PAF PA=PA

⇒Rt△PAE≌Rt△PAF⇒AE=AF，
∵

PO⊥α AB?α

⇒AB⊥PO，
又∵AB⊥PE，PO∩PE=P，
∴AB⊥平面PEO，
∴AB⊥OE，同理AC⊥OF．
在Rt△AOE和Rt△AOF，AE=AF，OA=OA，
∴Rt△AOE≌Rt△AOF，∴∠EAO=∠FAO，
即点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上．