【题目】已知函数
，
.
（1）若，当
时，解关于
的不等式
；
（2）证明：
有且仅有2个零点.
【答案】（1）
；（2）见解析
【解析】
（1）先由导数的知识判断出
在
上单调递增，再由不等式
得
，解之即可；（2）由（1）可知函数在上没有零点，
当
时，令
，则
，易知
，则
在
上单调递增，再根据
、
得出
，使得
，得在
上单调递减，在
上单调递增，
然后由
、
、
并结合函数的零点存在性定理可得在
，
上分别有一个零点.
（1）当
时，
.
故在上单调递增，∴不等式等价于解得
.
故关于
的不等式的解集为.
（2）证明：由（1）知函数在上单调递增，且
.
∴函数在上没有零点.
设，，
当时，
，
，∴.∴
在上单调递增.
易知在上单调递增，且
，
.
故，使得，所以在上单调递减，在上单调递增.
又因为
，
，
.
所以在，上分别有一个零点.
综上所述：有且仅有2个零点.
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【题目】在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，AB＝AP＝3，AD＝PB＝2，E为线段AB上一点，且AE︰EB＝7︰2，点F、G分别为线段PA、PD的中点．
（1）求证：PE⊥平面ABCD；
（2）若平面EFG将四棱锥P－ABCD分成左右两部分，求这两部分的体积之比．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知函数f（x）＝cos（2x
）+2sin（
）sin（
x）．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）求函数y＝f（x）的对称轴方程，并求函数f（x）在区间[
，
]上的最大值和最小值．
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【题目】如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且
．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；
（Ⅲ）设点G在PB上，且
．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知函数
（
为自然对数的底数），
是
的导函数.
（Ⅰ）当
时，求证
；
（Ⅱ）是否存在正整数
，使得
对一切
恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由.
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【题目】通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下
列联表：
（1）能否有
的把握认为是否爱好该项运动与性别有关？请说明理由．
（2）利用分层抽样的方法从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建“运动达人社”，现从“运动达人社”中选派2人参加某项校际挑战赛，求选出的2人中恰有1名女大学生的概率．
男 | 女 | 总计 | |
爱好 | 40 | 20 | 60 |
不爱好 | 15 | 25 | 40 |
总计 | 55 | 45 | 100 |
附：
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
，其中
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【题目】如图，F1（﹣2，0），F2（2，0）是椭圆C：
的两个焦点，M是椭圆C上的一点，当MF1⊥F1F2时，有|MF2|＝3|MF1|．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P（0，3）作直线l与轨迹C交于不同两点A，B，使△OAB的面积为
（其中O为坐标原点），问同样的直线l共有几条？并说明理由．
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【题目】某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置.若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券.例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．
（1）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；
（2）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为
（元）．求随机变量
的分布列和数学期望．
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【题目】对于函数
，有下列4个命题：①任取
，都有
恒成立；②
，对于一切
恒成立；③函数
有3个零点；④对任意
，不等式
恒成立.则其中所有真命题的序号是______.
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