Question

如图，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的底面边长为3，侧棱长为4，连接A₁B，过A作AF⊥A₁B垂足为F，且AF的延长线交B₁B于E．
（1）求证：D₁B⊥平面AEC；
（2）求二面角B-AE-C的平面角的正切值．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系，利用向量的数量积公式，证明

D1B

•

AE

=0，

D1B

•

AC

=0，即可得到结论；
（2）确定

D1B

=（3，3，-4）是平面AEC的一个法向量，

n

=（-1，0，0）是平面ABE的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角B-AE-C的平面角的正切值．

解答：（1）证明：根据题意，建立空间直角坐标系如图所示，
则A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），E（3，3，

9

4

），D₁（0，0，4）．
∵

D1B

=（3，3，-4），

AE

=（0，3，

9

4

），

AC

=（-3，3，0）
∴

D1B

•

AE

=0，

D1B

•

AC

=0
∴

D1B

⊥

AE

，

D1B

⊥

AC

∵AE∩AC=A
∴D₁B⊥平面AEC；
（2）解：由（1）知，D₁B⊥平面AEC，∴

D1B

=（3，3，-4）是平面AEC的一个法向量．
又∵

n

=（-1，0，0）是平面ABE的一个法向量，
∴cos＜

D1B

，

n

＞=

n • D1B

| n || D1B |

=

3

34

∴tan＜

D1B

，

n

＞=

5

3

，即二面角B-AE-C的平面角的正切值为

5

3

．

点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．